Математическая энциклопедия - гаусса - бонне теорема

полная кривизна двумерного компактного риманова многообразия , замкнутого или с краем, и поворот его гладкого края (границы) связаны с эйлеровой характеристикой многообразия соотношением

здесь

где Кгауссова кривизна, a S - площадь;

где геодезич. кривизна, а l - длина границы. Г.В. т. справедлива и для многообразия с кусочно гладкой границей, в этом случае

где есть поворот границы в угловой точке. В частности, теорема справедлива на регулярных поверхностях в . К Г. -Б. т. близко подошел К. Гаусс (см. [1]), в отчетливой форме (для гомеоморфных кругу поверхностей) она опубликована О. Бонне (см. [2]).

Для некомпактного полного без края аналогом Г. Б. т. является неравенство Кон-Фоссена (см. [3]):

Г.Б. т. и приведенное неравенство верны также для выпуклых поверхностей и двумерных многообразий ограниченной кривизны.

Г.Б. т. обобщается для четномерных компактных римановых многообразий , замкнутых или с краем:

где объемы в и нек-рый полином от компонент тензора кривизны , нек-рый полином от компонент тензора кривизны и коэффициентов второй квадратичной формы (см. [4]). Г.Б. т. распространена также на римановы полиэдры [5]. Другие обобщения Г. Б. т. связаны с интегральными пред-_ ставлениями характеристич. классов через параметры римановой метрики (см. [4], [6], [7]).

Лит.:[1] Gauss С., Werke, Bd 8, Gott., 1900; [2] Bonnet О., "J. Ecole polytech.", 1948, t. 19, p. 1-146; [3] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959; [4] ШарафутдиновВ. А., "Сиб. матем. ж.", 1973 , т. 14, № 6, с. 1321-35; [5] А11еndоеrfer С. В., Wеil A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1943, v. 53, № 1, p. 101-29; [6] Ee11s J., "Trans. Amer. Math. Soc." 1959, v. 92, № 1, p. 142 53; [7] Понтрягин Л. С. "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1949, т. 13, № 2. Ю. Д. Бураго

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985