Математическая энциклопедия - гаусса разложение

топологической группыСпредставление всюду плотного подмножества в виде где Н - абелева подгруппа группы нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N(соответственно ) подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали, подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение наз. разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений: если где невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений то приведение матрицы методом Гаусса к треугольному виду , можно осуществить умножением g0 слева на нижнетреугольную матрицу Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. Пусть Gтопо-логич. группа, Н - ее подгруппа, нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Нназ. треугольным усечением группы, если а) где коммутант группы связные разрешимые подгруппы группы G;б) множество всюду плотно в G, и разложение однозначно. Разложение наз. треугольным разложением в G. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы разрешимы.

Пусть неприводимое (непрерывное) представление группы в конечномерном векторном пространстве подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно ; тогда инвариантно относительно Н, и представление группы в неприводимо. Представление определяет однозначно с точностью до эквивалентности. Представление содержится (как инвариантная часть) в представлении группы , индуцированном представлением , подгруппы Вв классе , где продолжение на Водноименного представления группы H, тривиальное на N. При этом пространство одномерно. Если Н - абелева подгруппа, то одномерно и характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G - редук-тивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй редуктивная связная подгруппа в G, содержащая . Тогда подгруппа Нявляется треугольным усечением группы G.2) Пусть G редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G содержит треугольное усечение , где А - од-носвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), M - централизатор Ав максимальной компактной подгруппе . 3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. р. , где Н - картановская подгруппа в группе G; Nсоответственно аналитич. одгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы (соответственно ), корень относительно Н, т. е. и являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1) 3) подгруппы од-носвязны, открыто в G в топологии Зариского, а отображение является изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. многообразие G рационально.

Лит.:[1] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1968. Д. П. Желобенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985