Математическая энциклопедия - геометрическое приближение

геометро-оптическое приближение, ряд вида

к-рый формально удовлетворяет уравнению, описывающему волновой процесс (или системе уравнений, тогда векторы).

Для решения краевых задач теории колебаний (см. Дифракции математическая теория).разработан так наз. лучевой метод[2], позволяющий строить Г. п. Существует гипотеза, что получающиеся в результате ряды представляют собой асимптотич. разложение искомых решений там, где члены Г. п. не имеют особенностей. В частных случаях эту гипотезу удалось доказать. Имеется и нестационарный аналог Г. п.

Построение функций основано на рассмотрении поля лучей, т. е. экстремалей функционала (см. Ферма принцип)

где скорость в рассматриваемой изотропной физич. среде, элемент длины дуги. Пусть пара параметров характеризует луч, параметр точки на луче, причем

Параметры можно взять за криволинейные координаты. Переход от криволинейных координат , , к декартовой прямоугольной дается формулой

Поверхности ортогональны лучам. В тех точках, где поле лучей не имеет особенностей, отлична от нуля величина

к-рая наз. геометрическим расхождением. Величина J входит в рекуррентные соотношения, связывающие функции us между собой, и играет фундаментальную роль во всех построениях Г. п. Лит.:[1] Фридлендер Ф., 'Звуковые импульсы, пер. с англ., М., 1962; [2] Бабич В. М., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972. В. М. Бабич.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985