Математическая энциклопедия - классические ортогональные многочлены
Связанные словари
Классические ортогональные многочлены
общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами:
1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона
причем на концах интервала ортогональности выполняются условия
2) Многочлен у=Р п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению
3) Имеет место обобщенная Родрига формула
где с пнекоторый нормировочный коэффициент.
4) Производные К. о. м. суть также К. о. м. и ортогональны на том же интервале ортогональности, вообще говоря, с другим весом.
5) Для производящей функции
имеет место представление
где l=l{х, w)тот корень квадратного уравнения z-х-wB(z)=0, который при малых |w| ближе расположен к точке х.
Этими свойствами обладают только три из указанных систем ортогональных многочленов, а также системы, полученные из этих трех линейными преобразованиями независимого переменного.
В обобщенной формуле Родрига нормировочный коэффициент с п обычно выбирается тремя различными способами с целью получения ортонормированных многочленов, либо ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом, либо так наз. стандартизованных ортогональных многочленов, к-рые вводятся потому, что наиболее удобны в применениях и основные формулы для них имеют наиболее простой вид.
К. о. м. являются собственными функциями нек-рых задач на собственные значения для уравнений типа Штурма Лиувилля, причем в этих задачах каждая система ортогональных многочленов (многочлены Якоби, многочлены Эрмита, многочлены Лагерра) является единственной последовательностью решений соответствующей системы уравнений (см. [4], с. 110).
Частные случаи К. о. м. определяются следующим выбором весовой функции и интервала ортогональности:
1) Многочлены Якоби {Р п (х;a, b} ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)a(i+x)b, где a>-1, b>-1. В частности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра {Р п (х;a)}. Лежандра многочлены {Р n (х)}соответствуют значениям a=b=0 и ортогональны на сегменте [ 1,1] с весом j(x)=1. Если т. е. j(x)=[(1-х)(1+х)]-1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода {Т п (х)}, а при многочлены Чебышева второго рода {Un(x)}.
2) Многочлены Эрмита {Н n (х)}ортогональны на интервале с весом j(x) = ехр(- х 2)
3) Многочлены Лагерра {L п (х;a)}ортогональны на интервале с весом j(x) = xae-x, где a>-1.
Лит.:[1] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Л., 1950; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [3] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; [4] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; [5] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., 1976. См. также лит. при ст. Ортогональные многочлены.
П. И. Суетин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 473 | |
5 | 454 | |
6 | 440 | |
7 | 437 | |
8 | 433 | |
9 | 425 | |
10 | 424 | |
11 | 423 | |
12 | 413 | |
13 | 407 | |
14 | 376 | |
15 | 375 | |
16 | 373 | |
17 | 365 | |
18 | 365 | |
19 | 364 | |
20 | 362 |