Математическая энциклопедия - классов дивизоров группа

факторгруппа группы диеизориалъных идеалов D (А) Крулля кольца А по подгруппе главных идеалов F(A). К. д. г. является абелевой группой и обычно обозначается С(А). Группа С(А)порождается классами простых идеалов высоты 1 в кольце А.

В некотором смысле К. д. г. измеряет отклонение от однозначности разложения элементов кольца Ана неразложимые множители. Так, факториальное кольцо имеет нулевую К. д. г.

Пусть j :гомоморфизм колец Крулля, тогда при некоторых дополнительных предположениях (напр., в случае, когда Вцелое или плоское расширение кольца А)определен канонич. гомоморфизм К. д. г. j* : Если В - локализация кольца Апо мультипликативной системе S, то j* сюръективно и ядро j* порождается простыми дивизориальными идеалами кольца А, пересекающимися с S (теорема Hагата). Если Вкольцо многочленов над А, то канонич. гомоморфизм ф* биективен (это является обобщением теоремы Гаусса о факториальности кольца многочленов над полем). В более общем случае, когда В симметрическая нётерова алгебра А-модуля М, канонич. гомоморфизм j* будет биективен при условии, что все симметрич. степени Sⁱ (М). рефлексивны. Если Вкольцо формальных степенных рядов над А, то гомоморфизм j* инъективен (и даже обратим слева), но. вообще говоря, не биективен.

Подгруппа группы С(А), порожденная обратимыми идеалами, изоморфна Пикара группеPic(A) кольца А, и функториальные свойства Pic (А)и С(А)согласованы. Так, если Встрого плоское расширение кольца Аи гомоморфизм j* : инъективен, то инъективен и j* : В частности, если пополнение Алокального кольца Афакториально, то факториально и А(теорема Мори).

Пусть Анормальное нётерово кольцо. Группа Pic (А)совпадает с С(А)тогда и только тогда, когда Алокально факториальное кольцо, т. е. все локальные кольца А т факториальны (напр., когда А - регулярное кольцо). Более точно, если факториально}, то где Uпробегают систему открытых подсхем в Spec(A), содержащих F. Это позволяет определить К. д. г. нормальной схемы [5] группу классов дивизоров Вейля (см. Дивизор).

Первоначально изучались К. д. г. колец алгебраич. чисел, первые результаты о конечности этой группы были получены еще Э. Куммером (Е. Kummer). Имеется тесная связь свойств К. д. г. с теоретико-числовыми вопросами, напр, с теоремой Ферма. Таблицы порядков.

К. д. г. некоторых колец алгебраич. чисел приведены в [1].

Современную общность теория К. д. г. получила в работах В. Крулля (W. Krull); П. Самюэль (P. Samuel) изучил функториальный характер К. д. г. и предложил несколько методов ее вычисления (как, напр., метод спуска). Другие подходы к изучению К. д. г. основаны на сравнении ее с группой Пикара, при этом применяются когомологич. и алгебро-геометрич. средства.

Для любой абелевой группы существует изоморфная ей К. д. г.

Лит.:[1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 1964; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] Samuel P., Topology, [1964], v. 3, Suppl. 1, S. 81-96; [4] Fоssum R. M., The divisor class group of a Krull domain, В., 1973; [5] Grоthendieck A., Dieudonne J., "Publ. Math. IHES", 1967, t. 32.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985