Математическая энциклопедия - классическая группа

группа автоморфизмов нек-рой полуторалинейной формы f на правом K-модуле Е, где Ккольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная рефлексивная форма; иногда считается, что Есвободный модуль конечного типа. Часто под К. г. понимают также и другие группы, тесно связанные с группами автоморфизмов форм (напр., их коммутанты или факторы по центру) или нек-рые их расширения (напр., группы полулинейных преобразований модуля Е, сохраняющие f с точностью до множителя и применения автоморфизма кольца К).

К. г. тесно связаны с геометрией: они могут быть охарактеризованы как группы таких преобразований проективных пространств (а также нек-рых многообразий, связанных с грассманианами, см. [2]), к-рые сохраняют естественные отношения инцидентности. Напр., согласно основной теореме проективной геометрии, группа всех преобразований га-мерного проективного пространства Р над телом К, переводящих любые три коллинеарные точки снова в три коллинеарные точки, совпадает при с К. г. всех проективных коллинеаций пространства Р. По этой причине изучение структуры К. г. имеет геометрический смысл-оно равносильно изучению симметрии (автоморфизмов) соответствующей геометрии.

Теория К. г. наиболее глубоко развита для случая, когда Ктело, а Евекторное пространство над Кконечной размерности п. Далее эти условия предполагаются выполненными; в этой ситуации классическими наз. обычно группы из следующих (описываемых ниже) серий: GLn(K), SLn(K), Spn(K),On(K,f), Un(K,f).

1) Пусть f нулевая форма. Группа всех автоморфизмов формы f совпадает с группой всех автоморфизмов пространства Е(т. е. биективных линейных отображений Ев Е);она обозначается GLn(K)и наз. полной линейной группой от ппеременных над телом К. Подгруппа в GLn(K), порожденная всеми трансвекциями, обозначается SLn (К) и наз. специальной линейной группой (или унимодулярной группой) от ппеременных над телом К. Она совпадает с множеством автоморфизмов, имеющих определитель, равный 1.

2) Пусть f невырожденная полуторалинейная форма (относительно инволюции J тела К), для которой отношение ортогональности симметрично, т. е.

Такая форма наз. рефлексивной. Группа Un(K, f) автоморфизмов формы f наз. унитарной группой от ппеременных над телом Котносительно формы f . Имеются лишь две возможности: либо К - поле, J=1 и f кососимметрическая билинейная форма, либо, умножая f на подходящий скаляр и меняя J, можно добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой или косоэрмитовой формой. Для кососимметрич. формы f группа Un(K, f ) наз. симплектической группой от переменных над телом К(если char K=2, нужно считать, что f знакопеременная форма); она обозначается Spn(K). Это обозначение не содержит f , поскольку все невырожденные знакопеременные формы на Еэквивалентны и определяют изоморфные симплектич. группы. В этом случае пчетно. Для эрмитовых и кобоэрмитовых форм выделяется случай, когда Кполе характеристики, отличной от 2, J=1, а f симметрическая билинейная форма. Тогда Un(K, f )наз. ортогональной группой от ппеременных над полем Котносительно формы f и обозначается О п( К, f ). Ортогональные группы могут быть определены (особым способом) и для полей характеристики 2 (см. [2]). Часто термин "унитарная группа" употребляется в более узком смысле для групп Un(K, f), не являющихся ортогональными или симплектическими, т. е. соответствующих нетривиальным инволюциям J.

К каждой из основных серий К. г. относят также и: их проективные образы PGLn(K), PSLn(K), PSpn(K)r РО п( К, f ), PUn(K, f ), т. е. их факторгруппы по пересечениям с центром Zn группы GLn(K). Группу

коммутант W п( К, f ) группы О n( К, f ) и группу

и их проективные образы также относят к сериям ортогональных и унитарных К. г. соответственно.

Классическим направлением в теории К. г. является выяснение их алгебраич. строения, к-рое сводится к описанию нормальных рядов подгрупп и их последовательных факторов (в частности, к описанию нормальных делителей и выяснению вопроса о простоте), описанию автоморфизмов и изоморфизмов К. г. (и, более общо, гомоморфизмов), описанию различных типов систем порождающих элементов и соотношений между ними и т. п. Так, основные утверждения о строении групп типа GLn(K)и SLn(K)следующие. Коммутантом GLn(K),является SLn(K), кроме случая п-2 и K=F2 (здесь Fqполе из qэлементов). Центр Zn группы GLn(K)состоит из всех гомотетий где aэлемент центра группы К*. Имеется нормальный ряд подгрупп

Группа GLn(K)/SLn(K)изоморфна К*/С, где К* - мультипликативная группа тела К, а Сее коммутант. Группа является центром в SLn(K)и факторгруппа

является простой во всех случаях, кроме n=2, K=F2 или F3. Подробнее см. Полная линейная группа, Специальная линейная группа, Симплектичеспая группа, Ортогональная группа. Унитарная группа. Строение К. г. существенно зависит от ее типа, тела К, свойств формы fи числа п. Для одних типов К. г. оно выяснено весьма детально, для других имеются еще открытые вопросы (последнее относится в основном к случаю групп типа Un(K, f ), где f анизотропная форма). Типичным в построении структурной теории К. г. является наличие утверждений, справедливых почти для всех К, f и п, и исследование различных исключительных случаев, когда эти утверждения не выполняются (такие исключения возникают, напр., для небольших значений п, для конечных полей Кмаленького порядка или для специальных значений индекса формы f).