Математическая энциклопедия - классифицирующее пространство

база В 0 универсального расслоения x= (E0, р 0, В о).

Универсальность расслоения x понимается в следующем смысле. Пусть kG (Х) множество классов эквивалентности (относительно изоморфизма, накрывающего тождественное отображение X)локально тривиальных расслоений над клеточным разбиением Xсо структурной группой G. Если 2;= (E, р, В)локально тривиальное расслоение со структурной группой G, В'топологич. пространство, f, g:гомотопные отображения, то индуцированные расслоения f*(x) и g*(x). над В' принадлежат одному и тому же классу kG( В'). Локально тривиальное расслоение x^G=(EG. p, BG )наз. универсальным, если отображение взаимно однозначно. Пространство BG в этом случае наз. также классифицирующим пространством группы G. Главное расслоение со структурной группой G универсально (в классе локально тривиальных расслоений над клеточными разбиениями), если пространство расслоения имеет нулевые гомотопич. группы.

Важнейшие примеры К. п. ВО п, BSOn, BUn, BSUn для групп О n, SOn, Un, SUn соответственно конструируются следующим образом. Пусть G(n, k)Грассмана многообразие, оно является базой главного О п- расслоения с Штифеля многообразием V(n, к )в качестве пространства расслоения. Естественные вложения и позволяют строить объединения G(n)=и V(n)=Расслоение (V(n), p0, G(n))универсально, a G(n) = BOn есть К. п. для группы On(piV(n, k)=0 при i<k-1 и piV (п) = 0 для всех i). Многообразие Грассмана (пространство с фиксированной ориентацией) приводит аналогично к К. п. ==BSOn для группы SOn. К. п. групп BUn и BSUn строятся так же, с той разницей, что здесь рассматриваются комплексные многообразия Грассмана.

Для любого О n- расслоения ( Е, р, В )(Вклеточное разбиение) существует отображение f : при к-ром индуцированное расслоение над Визоморфно ( Е, р, В). В случае, когда Вгладкое га-мерное многообразие, а главное О n -расслоение ( Е, р, В )ассоциировано с касательным векторным расслоением к В, построение отображения f особенно просто: многообразие Ввкладывается в евклидово пространство R^n+k при достаточно большом ки полагается f(x),совпадающим с n-мерным подпространством в R^n+k, к-рое получается сдвигом касательного пространства к В в точке х. Многообразия Грассмана дают удобный способ конструкции К. п. для векторных расслоений. Имеются также конструкции, позволяющие функториально строить К. п. для любой топологич. группы. Наиболее употребительная из них конструкция Милнора wG (см. Главное расслоение), причем расслоение wG универсально в более широкой категории всех нумерируемых G-расслоений над произвольным топологич. пространством.

Важную роль играют К. п. для сферических расслоений BGn над клеточным разбиением В;для построения пространств BGn (и BSGn для ориентированных сферич. расслоений) конструкция Милнора не пригодна, так как множество гомотопич. эквивалентностей не группа, а H-пространстпо. Явная конструкция этих пространств изложена в [2].

Существуют также К. п. ВРl п и ВТор п для кусочно линейных и топологич. микрорасслоений.

Имеется естественное отображение соответствующее прибавлению к векторному расслоению одномерного тривиального расслоения. Отображение это можно считать вложением, так что имеет смысл объединение в топологии индуктивного предела. Совершенно аналогично строятся пространства ВSO, BU, BSU, BG, BSG, BPl, ВТор и т. д. Это К. п. для классов стационарной эквивалентности расслоений, заданных над связными конечными клеточными разбиениями. Все эти пространства имеют структуру H-пространств, связанную с операцией суммы Уитни расслоений.

Термин "К. п." употребляется не всегда в связи с расслоениями. Иногда К. п. наз. представляющее пространство (объект) для произвольного представимого функтора Т:гомотопич. категории в категорию множеств. Примером такого К. п. является пространство ВГ q, классифицирующее в нек-ром смысле слоения коразмерности qна многообразии, или, более общо, q-структуры Хефлигера на произвольном топологич. пространстве.

Лит.:[1] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [2] Бордман Дж., Фогт Р., Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах, пер. с англ., М., 1977.

А. Ф. Харшиладзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985