Математическая энциклопедия - лапласа оператор

лапласиан,дифференциальный оператор определяемый формулой

(здесь координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма).

Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

пусть матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

где локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид

где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:

где * оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде

Здесь ковариантные производные по

тензор кривизны, тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс

где Е р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е р) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е р). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.

На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы

где пространство гладких форм типа ( р, q).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):

Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то

Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:

В этом разложении где Л. о. комплекса (6), так что пространство "гармонических" сечений расслоения Е р (в случае комплекса де Рама это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений

Лит.: [1] Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [2] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [3] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985