Математическая энциклопедия - максвелла уравнения

уравнения электромагнитного поля в материальных средах; установлены в 60-х гг. 19 в. Дж. Максвеллом (J. Maxwell) на основе экспериментально найденных к тому времени законов электрических и магнитных явлений.

В классич. электродинамике для описания электромагнитного ноля в среде вводятся четыре векторных поля: напряженность электрич. поля Е, электрич. индукция D, напряженность магнитного поля Н н магнитная индукция В, к-рые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями r радиус-вектора точки 3-мерного пространства и времени t. Эти поля определяются с точностью до постоянных множителей, позволяющих выбрать соответствующую систему физич. единиц измерения абсолютной величины этих полей.

М. у. представляют собой систему неоднородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка для полей Е, D, Н, B, к-рая в т. н. абсолютной системе физич. единиц Гаусса имеет вид:

где неоднородные члены r(t, r) - заданное скалярное поле плотности электрич. заряда в среде и j(t, r) - векторное поле плотности электрич. тока (заряда, проходящего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов) являются источниками ноля, а с=3*10¹⁰ см/сек - постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме. М. у. могут быть записаны также и в интегральной форме:

Поля E, D, H, В и j не являются независимыми, причем в согласии с экспериментальными фактами D и j зависят только от E, а В зависит только от Н, т. е'. имеют место следующие функциональные зависимости:

к-рые наз. уравнениями состояния, или материальными уравнениями сре-д ы. В рамках классической макроскопич. электродинамики уравнения состояния (3) должны быть заданы дополнительно (постулированы или определены но экспериментальным данным) и с их учетом система М. у. для двух независимых векторных полей E и Н становится замкнутой. Конкретный вид уравнений состояния (3) определяется электрическими и магнитными свойствами данной среды и ее состоянием. В общем случае в уравнениях состояния (3) векторные поля D, j и В в точке r в момент времени tмогут зависеть нелинейно от значении полей E и Н соответственно во всех точках среды (нелокальный случай) во все любые моменты времени, предшествующие согласно физич. принципу причинности данному моменту t(случай среды с последействием или с памятью). Большинство имеющих практич. интерес сред характеризуется локальной линейной зависимостью D и j от Е и В от Н, и в этом случае М. у. оказываются линейными дифференциальными уравнениями, однако в приложениях встречаются и более сложные случаи (напр., в нелинейной оптике). Уравнения состояния (3) могут быть рассчитаны в принципе с помощью микроскопич. электродинамики, если учесть законы движения отдельных частиц среды и их индивидуальные микроскопич. характеристики (значения элсктрич. зарядов, масс). При этом значения макроскопич. полей E, H, D, В определяются как усредненные значения микроскопич. полей, создаваемых отдельными движущимися заряженными частицами среды, и для них справедливы М. у.

На поверхности раздела различных сред должны быть выполнены граничные условия

где j пов плотность поверхностного тока, плотность поверхностного заряда, п - единичный вектор нормали к поверхности раздела, индексы 1 и 2 отмечают значения полей с разных сторон поверхности раздела.

Следствием М. у. является уравнение непрерывности

выражающее закон сохранения электрич. заряда.

М. у. инвариантны относительно преобразований Лоренца. Если в псевдоевклидовом пространстве 4-мерном пространстве-времени с координатами х 1=х, х2=у, x3=z, x4=ict ввести два антисимметричных 4-мерных тензора Fkl и Gkl(k, l=1, 2, 3, 4) с компонентами

а также 4-мерный вектор тока jk, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого jl=ix, j2=iy, j3=iz совпадают с компонентами тока j и четвертая' компонента пропорциональна плотности заряда, то М. у. (1) могут быть записаны в релятивистски ковариантнон форме:

Уравнения (5) представляют собой 4-мерную форму записи М.