Математическая энциклопедия - множественный коэффициент корреляции

мера линейной зависимости между одной и нек-рой совокупностью случайных величин. Точнее, если случайный вектор со значениями в , то М. к. к. между определяется как обычный коэффициент корреляции между Х 1 и наилучшим линейным приближением по т. е. регрессией величины по . М. к. к. обладает тем свойством, что если при есть регрессия по то среди всех линейных комбинаций величин величина имеет наибольшую корреляцию с ; в этом смысле М. к. к.частный случай канонич. коэффициента корреляции. При к -2 М. к. к. равен обычному коэффициенту корреляции между . М. к. к. между обозначается и выражается через элементы корреляционной матрицы следующим образом

где определитель алгебраич. дополнение элемента ; при этом . Если , то величина Х 1 с вероятностью 1 равна нек-рой линейной комбинации величин т. е. совместное распределение величин сосредоточено в нек-рой гиперплоскости пространства . С другой стороны,тогда и только тогда, когда т. е. когда не коррелирована ни с одной из величин Для вычисления М. к. к. можно также использовать формулу где дисперсия , а дисперсия X1 относительно регрессии.

Выборочным аналогом М. к. к. является

где и оценки и по выборке объема п. Для проверки гипотезы об отсутствии связи используются выборочные распределения . При условии, что выборка произведена из многомерной нормальной совокупности, величина имеет бета-распределение с параметрами , если ; если , то величина при имеет в пределе нецентральное "хи-квадрат"-распределение с к-1 степенями свободы и параметром нецентральности

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985