Математическая энциклопедия - область целостности

целостное кольцо,коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в нек-ром поле, является О. ц. Обратно, любая О. ц. может быть вложена в нек-рое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных (см. Частных кольцо).

Если АО. ц., то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над Атакже будут О. ц. Если А-коммутативное кольцо с единицей и I нек-рый идеал в А, то кольцо А/I является О. ц. тогда и только тогда, когда идеал I прост. Кольцо Абудет О. ц. тогда и только тогда, когда спектр кольца Анеприводимое топологич. пространство.

Иногда в определении О. ц. не требуют коммутативности кольца А. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная О. ц. может быть вложена в нек-рое тело (см. [2], а также Вложение кольца).

Лит.:[1] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985