Математическая энциклопедия - ортогонализация
Связанные словари
Ортогонализация
процесс ортогонализации,алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс ортогонализации Шмидта (или Грама Шмидта), при к-ром по линейно независимой системе al,...,ak строится ортогональная система bl,...,bk такая, что каждый вектор bi (i=1,...,k).линейно выражается через al,...,ai то есть bi=, где C=||gij|| верхняя треугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система {bi} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы gij матрицы Сбыли положительны; этими условиями система {bi} и матрица Сопределяются однозначно. .
Процесс Грама-Шмидта состоит в следующем. Полагают b1=а 1;если уже построены векторы bl,...,bi то
где
j=1,...,i, найдены из условия ортогональности вектора bi+1 к bl,...,bi. Геометрии, смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор bi+1 является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов al,...,ai до конца вектора bi+1. Произведение длин |bi|...|bk| равно объему параллелепипеда, построенного на векторах системы { а i}, как на ребрах. Нормируя полученные векторы bi, получают искомую ортонормированную систему. Явное выражение векторов bi через al,...,ak дает формула
(определитель в правой части следует формально разложить по последнему столбцу). Соответствующая ор-тонормированная система имеет вид
где Г i Грама определитель системы al,...,aj.
Этот процесс применим также и к счетной системе векторов.
Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхней треугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай Ивасавы разложения.
Лит.:[1] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; Е2] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. И. В. Проскуряков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 474 | |
5 | 455 | |
6 | 441 | |
7 | 438 | |
8 | 435 | |
9 | 426 | |
10 | 425 | |
11 | 423 | |
12 | 413 | |
13 | 407 | |
14 | 376 | |
15 | 376 | |
16 | 373 | |
17 | 367 | |
18 | 366 | |
19 | 365 | |
20 | 363 |