Математическая энциклопедия - положительное расслоение

обобщение понятия дивизора положительной степени на римановой поверхности. Голоморфное векторное расслоение Енад комплексным пространством Xназ. положительным (обозначается E>0), если в Есуществует такая эрмитова метрика h, что функция

на Естрого псевдовыпукла вне нулевого сечения. Если X - многообразие, то условие положительности выражается в терминах кривизны метрики h. А именно, кривизны форме метрики hв расслоении Еотвечает эрмитова квадратичная форма Wна Xсо значениями в расслоении Herm Eэрмитовых эндоморфизмов расслоения Е, Условие положительности эквивалентно тому, что Wx(u) - положительно определенный оператор в Е х для любого и любого ненулевого

В случае, когда Е - расслоение на комплексные прямые над многообразием X, условие положительности равносильно положительной определенности матрицы

,

где z1, . . ., zn локальные координаты на X, h>0 функция, задающая эрмитову метрику при локальной тривиализации расслоения. Если Xкомпактно, то расслоение на комплексные прямые Енад Xположительно тогда и только тогда, когда Чжэня класс с 1 (Е).содержит замкнутую форму вида

где ||jab|| положительно определенная эрмитова матрица. В частности, если X - риманова поверхность, то расслоение над X. определяемое дивизором степени d, положительно тогда и только тогда, когда d>0. В случае, когда Е расслоение ранга >1 над многообразием Xразмерности >1, рассматривается также следующий более узкий класс П. р.: расслоение наз. положительным в смысле Накано, если на Есуществует такая эрмитова метрика h, что эрмитова квадратичная форма Нна расслоении , заданная формулой

где , положительно определена. Примеры: касательное расслоение к проективному пространству Р ⁿ положительно, но при n>1 не является положительным в смысле Накано; расслоение на комплексные прямые над Р ⁿ, определяемое гипер-илоскостью, положительно.

Любое факторрасслоение положительного векторного расслоения положительно. Если Е', Е" - положительные (положительные в смысле Накано) расслоения, то и положительны (положительны в смысле Накано).

Понятие "П. р." было введено в связи с Кодаиры теоремой об обращении в нуль для случая расслоений на комплексные прямые, а затем обобщено на произвольные расслоения. Несколько позже, в связи с вопросом о существовании вложения в проективное пространство, были выделены понятия слабо положительного и слабо отрицательного расслоений.

Голоморфное векторное расслоение Енад компактным комплексным пространством X наз. слабо отрицательным, если его нулевое сечение обладает строго псевдовыпуклой окрестностью в Е, т. е. является исключительным аналитич. множеством. Расслоение Еназ. слабо положительным, если сопряженное расслоение Е* слабо отрицательно. В случае, когда X - риманова поверхность, понятия слабо положительного и П. р. совпадают [5]. В общем случае из положительности вытекает слабая положительность; примеров слабо положительных, но не положительных расслоений пока (1983) не известно.

Слабая положительность расслоения равносильна каждому из следующих свойств: для любого когерентного аналитич. чка на Xсуществует такое m0>0, что пучок при порождается глобальными сечениями; для любого когерентного аналитич. чка на Xсуществует такое , что

для всех (см. [3], [4]). Через здесь обозначается пучок ростков голоморфных сечений расслоения Е. Слабо положительные расслоения аналогичны, таким образом, обильным векторным расслоениям из алгебраич. геометрии и иногда наз. обильными аналитическими расслоениями. Слабо положительное расслоение над пространством Xестественным образом определяет вложение пространства Xв многообразие Грассмана и тем самым в проективное пространство.

Понятия положительного, отрицательного, слабо положительного и слабо отрицательного расслоений естественным образом обобщаются также на случай линейных пространств над комплексным пространством X(см. Векторное аналитическое расслоение).

См. также Отрицательное расслоение.

Лит.:[1] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [2] Яжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 93-171; [4] Schneider M., "Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg", 1978, Bd 47, S. 150i70; [5] Umemurа Н., "Nagoya Math. J.", 1973, v. 52,'p. 97-128. A. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985