Математическая энциклопедия - полугруппа

множество с одной бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности. Понятие П. есть обобщение понятия группы:из аксиом группы остается лишь одна ассоциативность; этим объясняется и термин "П.". П. называют иногда моноидами, но последний термин употребляется чаще всего для П. с сигнатурной единицей (т. е. с нульарной операцией, отмечающей единицу).

Теория П. принадлежит к числу сравнительно молодых областей алгебры. Первые исследования, посвященные П., относятся к 20-м гг. 20 в. и связаны с именем А. К. Сушкевича. Он, в частности, определил строение ядра (наименьшего идеала) конечной П., т. е. фактически строение конечной П. без собственных идеалов. Этот результат позднее был обобщен Д. Рисом (D. Rees) на произвольные вполне простые полугруппы и усовершенствован посредством введения понятия матрицы над группой (см. Рисовская полугруппа матричного типа). Теорема Риса, к-рую можно считать нек-рым аналогом теоремы Веддерберна о простых алгебрах, принадлежит к числу основных фактов теории П. Другие ранние исследования по теории П. принадлежат А. Клиффорду (A. Clifford), одним из первых значительных достижений к-рого было введение и изучение П., покрываемых группами; эти П. наз. теперь вполне регулярными, или клиффордовыми полугруппами. К кон. 50-х гг. 20 в. теория П. сформировалась в самостоятельную ветвь современной алгебры с богатой проблематикой, разнообразными методами и тесными связями с многими областями математики как собственно алгебраическими (в первую очередь, с теорией групп и теорией колец), так и другими, напр. функциональным анализом (П. операторов в банаховых пространствах), дифференциальной геометрией (П. частичных преобразований), алгебраич. теорией автоматов (П. автоматов).

Примеры П. чрезвычайно многочисленны. Это различные множества чисел вместе с операцией сложения или умножения, замкнутые относительно рассматриваемой операции, П. матриц относительно умножения, П. функций относительно "поточечного" умножения *, задаваемого формулой (f* g)(x)=f(x) g(x), П. множеств относительно операции пересечения или объединения и т. д. В общей теории и нек-рых приложениях важен следующий пример П. Пусть X - произвольное множество. На множестве FX всех конечных последовательностей элементов из Xопределяется операция, задаваемая формулой

Тогда FX относительно операции * является П.; она наз. свободной П. на множестве X. Всякая П. есть гомоморфный образ нек-рой свободной.

Всякая совокупность преобразований произвольного множества М, замкнутая относительно операции композиции (последовательного выполнения, наз. также суперпозицией), будет П. относительно этой операции; такова, в частности, совокупность всех преобразований множества М, наз. симметрической полугруппой на множестве М. Многие важные совокупности преобразований оказываются П., причем часто они не являются группами. С другой стороны, всякая П. изоморфна нек-рой П. преобразований. Таким образом, именно понятие П. оказывается наиболее подходящим для изучения в самом общем виде преобразований, и в большой степени через рассмотрение преобразований осуществляются связи теории П. с другими областями математики. При этом очень часто П. возникают как П. эндоморфизмов (см. Эндоморфизмов полугруппа).тех или иных рассматриваемых систем: пространств, алгебр, графов и т. д. К П. приводит также рассмотрение частичных преобразований и бинарных отношений относительно операции умножения.

Как и в других алгебраич. теориях, одной из главных задач теории П. является классификация всевозможных П., описание их строения. Это осуществляется прежде всего наложением на рассматриваемые П. различных ограничений и выделением тем самым различных типов П. Ограничения могут иметь разную природу. П. может удовлетворять фиксированной системе тождеств (типичные примеры коммутативные П., П. идемпотентов) или другим условиям, выражаемым формулой узкого исчисления предикатов (примеры П. с законом сокращения, регулярные П.). Закон сокращения и регулярность представляют собой примеры ограничений, носящих так или иначе характер ослабления свойств группы; введение подобных условий было, пожалуй, особенно популярно на первых порах развития теории П. (среди выделенных здесь типов, наиболее близких к группам, правые группы). Во многих случаях, впрочем, возникающие на этом пути классы П. включают в себя П., весьма далекие по своим свойствам от групп (типичный пример П. идемпотентов).

Понятие регулярной полугруппы возникло по аналогии с понятием регулярного кольца. Класс регулярных П. принадлежит к числу наиболее интенсивно изучаемых в теории П. Он включает в себя следующие важные классы полугрупп: мультипликативные П. регулярных колец (и, в частности, П. всех матриц данного порядка над телом), симметрические П., П. всех частичных преобразований множеств, инверсные П., клиффордовы П. и, в частности, П. идемпотентов и вполне простые П., вполне 0-простые П. и др.

Другой тип распространенных ограничений ограничения на систему всех или нек-рых подполугрупп, в частности идеалов, а также нек-рых отношений на

П., а частности конгруэнции. Так возникают, напр., разнообразные типы простых полугрупп и разнообразные условия конечности (см. Полугруппа с условием конечности, Периодическая полугруппа, Локально конечная полугруппа, финитно аппроксимируемая полугруппа, Минимальный идеал),II. с разными типами идеальных рядов и идеальных систем (см. Идеальный ряд, Нилъполугруппа};принципиальную роль в исследовании многих вопросов теории П. играют Грина отношения эквивалентности.

Ограничения могут относиться к порождающим множествам и выделять их типы либо с точки зрения характера порождающих элементов (напр., идемпотенты; всякая П. вложима в идемпотентно порожденную П.) или их числа (конечно порожденные П. существенно участвуют во многих исследованиях), либо с точки зрения взаимодействия порождающих элементов изучаются П., заданные определяющими соотношениями и, в частности, конечно определенные П. (см. Алгоритмическая проблема, Полугруппа с условием конечности), либо с объединенной точки зрения (см. напр., Бициклическая полугруппа).

При изучении строения П. важную роль играют различные конструкции, сводящие описание рассматриваемых П. к тем или иным "более хорошим" типам. Довольно часто в качестве последних выступают группы, и принцип описания "по модулю групп" распространен в теоретико-полугрупповых исследованиях, он проявился еще в упоминавшейся классич. теореме Риса, согласно к-рой всякая вполне 0-простая (вполне простая) П. изоморфна регулярной рисовской П. матричного типа над группой с нулем (группой). Группы участвуют в конструкциях, описывающих инверсные П., и в конструкциях, описывающих коммутативные архимедовы полугруппы с законом сокращения и без идемпотентов. Описание П. с многими условиями конечности сводится к группам с соответствующими условиями.

Среди конструкций, участвующих в описании П., имеются как общеалгебраические, напр. прямые произведения, подпрямые произведения, так и специфически теоретико-полугрупповые. К последним относятся уже упоминавшиеся рисовские П., а также ряд других, из к-рых следует упомянуть конструкцию связки такого разбиения на подполугруппы, что соответствующее отношение эквивалентности есть конгруэнция. Среди связок особую роль играют коммутативные связки (или полурешетки) и матричные (прямоугольные) связки (см. Связка полугрупп). В терминах связок описываются многие типы П. Так, теорема Клиффорда о вполне регулярных П. означает, по существу, что яти П. исчерпываются полурешетками вполне простых П.; вполне простые П. это в точности прямоугольные связки групп; теорема Тамуры Кимуры утверждает, что любая коммутативная П. единственным образом разложима в связку архимедовых П. (см. [3]).