Математическая энциклопедия - привилегированный компакт

понятие, часто используемое в теории комплексных пространств, в особенности в теории модулей комплексных структур. Пусть К - компакт в ограничение на Кпучка ростков голоморфных функций в . Компакт Кназ. привилегированным относительно когерентного аналитического пучка , заданного на К, если существует точная последовательность отображений -пучков

(1)

в к-рой , с нек-рыми , i=0, 1, ... , п, такая, что порожденная ею последовательность непрерывных операторов

(2) точна и расщепляема.

Здесь

а есть банахово пространство непрерывных на Кфункций, голоморфных внутри К, наделенное равномерной нормой. Расщепляем ость последовательности (2) означает, что ядро и образ дифференциала d в каждом члене имеет прямое замкнутое дополнение. Это условие расщепляемости эквивалентно следующему: существует линейный непрерывный оператор hв (2), переводящий в , такой, что dhd=d (оператор гомотопии). Свойство точности и расщепляемости последовательности (2) не зависит от выбора последовательности (1).

Пусть точка z принадлежит внутренности компакта К. Тогда существует морфизм p комплекса (2) в слой комплекса (1) над точкой z, переводящий элемент

, т. е. функцию на Ксо значениями в в ее росток в точке z. Отсюда вытекает, что последовательность

(3)

полуточна. Компакт Кназ. -привилегированной окрестностью точки z, если он -привилегирован и последовательность (3) точна. Это свойство также не зависит от выбора последовательности (1).

Для всякого когерентного аналитич. чка всякая точка его области определения обладает фундаментальной системой -привилегированных окрестностей. В качестве таких окрестностей выбираются поликруги с определенными соотношениями типа неравенств для радиусов. Известно достаточное условие -привилегированности полицилиндра, связывающее пучок с устройством границы (см. [1]).

Рассматриваются также привилегированные компакты но отношению к пучку, заданному на произвольном комплексном пространстве X, при этом имеют в виду компакты, привилегированные относительно пучков , где f карта на X.

Лит.:[l] Dоuadу А., ч Ann. Inet. Fourier", 1966, t, 16. p. 1 -95. В. П. Паламодов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985