Математическая энциклопедия - ранг модуля

1) р а н г л е в о г о м о д у л я Мнад кольцом R, вложимым в тело k - размерность тензорного произведения , рассматриваемого как векторное пространство над k. Если кольцо целых чисел, то это определение совпадает с обычным определением ранга абелевой группы. Если тело kявляется плоским R-модулем (напр., k - тело частных кольца R), то для точной последовательности

выполняется следующее равенство между рангами:

2) Р а н г с в о б о д н о г о м о д у л я Мнад произвольным кольцом Rопределяется как число его свободных образующих. Для колец, вложимых в тело, это определение совпадает с определением из пункта 1). В общем случае ранг свободного модуля определяется неоднозначно. Существуют кольца (называемые n-FI -кольцами), над к-рыми любой свободный модуль с не более, чем псвободными образующими, имеет однозначно определенный ранг, а для свободных модулей с числом образующих, большим п, это свойство не верно. Достаточным условием однозначности ранга свободного модуля над кольцом Rявляется существование гомоморфизма в тело k. В этом случае понятие Р. м. распространяется на проективные модули следующим образом. Гомоморфизм j индуцирует гомоморфизм групп проективных классов и р а н г о м п р о е к т и в н ог о м о д у л я Р наз. образ представителя модуля Рв

. Гомоморфизм j существует для произвольного коммутативного кольца R.

Лит.:[1] К о н П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975; [2] М и л н о р Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974 . В. Е. Говоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985