Математическая энциклопедия - распределение простых чисел

раздел теории чисел, в к-ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а также функции p(х; d, l), обозначающей число п. ч., не превосходящих хв арифметич. прогрессии dn+l при , для растущих вместе с хзначений d.

О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и: каждое натуральное число n>1 является или п. ч. или единственным (с точностью до перестановки сомножителей) произведением п. ч.

(т. н. к а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е числа п), где различные п. ч., n1, ...... , натуральные числа. Таким образом, п. ч. есть базис мультипликативного построения ряда натуральных чисел, это, однако, непосредственно ничего не говорит о величине p(х).

Для нахождения п. ч. от 1 до хслужит известный с 3 в. до н. э. метод Эратосфена решета. Решето Эратосфена является простейшей процедурой получения последовательности п. ч. Однако аналитич. ормула решета

где dпробегает делители произведения всех п. ч. , число простых делителей целая часть и, непригодна для изучения p (х).при

Рассмотрение последовательности п. ч. от 1 до х:2,3, 5, 7, 11, 14, ..., р(1)

показывает, что с увеличением x она становится в среднем все более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди к-рых нет ни одного п. ч. Напр., п-1 натуральных чисел вида п!+2, ... , п!+п для любого являются составными числами. В то же время в (1) встречаются п. ч. такие, как 8004119 и 8004121, разность между к-рыми равна 2 (п. ч.близнецы). Проблема поведения p(x) при является одной из наиболее трудных и интересных проблем теории чисел.

Первый результат о величине p(х).-т е о р е м а Е в к л и д а: при . Л. Эйлер (L. Еu1ег, 1737, 1749, см. [1]) ввел функцию

(2) и показал, что при

(3)

где ряд распространяется на все натуральные числа, а произведение на все п. ч. Тождество (3) и его обобщения играют фундаментальную роль в теории Р. п. ч. Исходя из него, Л. Эйлер доказал, что ряд и произведение по простым ррасходятся. Это новое доказательство бесконечности числа п. ч. Более того, Л. Эйлер установил, что п. ч. "много", ибо

и, в то же время, почти все натуральные числа являются составными, т. к.

Далее значительного успеха достиг П. Л. Чебышев (1851-52, см. [2]). Он доказал, что:

1) для любых т>0, М>0 есть последовательности , для к-рых

2) если существует предел частного при , то он равен 1. Тем самым впервые был решен вопрос о существовании простой функции

к-рая служит наилучшим приближением для p(х). Затем П. Л. Чебышев установил истинный порядок роста p(х), т. е. существование постоянных а>0, А>0 таких, что

(4)

причем, а=0,92... , А=1,05... для . Он же доказал, что при любом в интервале ( п, 2п).содержится по крайней мере одно п. ч. (п о с т у л а т Б е р т р а н а). В основе вывода неравенств (4) лежит т о ж д е с т в о Ч е б ы ш е в а

(5)

в к-ром введенная П. Л. Чебышевым функция y определяется суммой по степеням р ^т, m=1, 2, ... , п. ч. р:

Именно, комбинация для в форме

вследствие (5), дает тождество

из к-рого следует, что

Отсюда, вследствие асимптотич. формулы Стирлинга для n, вытекает аналог неравенств (4) для y(x), из к-рых частичным суммированием получаются неравенства (4). Функция Чебышева y (х)оказалась более удобной, чем p(х), при изучении Р. п. ч., поскольку наилучшим приближением ее является сам аргумент х. По-этому обычно сначала рассматривают y (х), а затем частичным суммированием получают соответствующий результат для p(х).

Принцип Римана. В 1859-60 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]) рассмотрел введенную Л. Эйлером для s>l функцию как функцию комплексного переменного , где s, t - действительные переменные, определяемую рядом (2) при s>1 (см. Дзета-функция), и обнаружил исключительную важность этой функции для теории Р. п. ч. В частности, он указал выражение разности p(х)li хчерез хи нули функции , лежащие в полосе , к-рые наз. н е т р и в и а л ьн ы м и н у л я м и ф у н к ц и и z,(s).

Вместо формулы Римана обычно используется более простой конечный ее аналог для y(x), доказанный (наряду с формулой Римана) X. Мангольдтом (Н. Маngoldt, 1895). Именно, для x>1

(6)

где r=b+ig пробегает нетривиальные нули , Т - любое

Поскольку

формула (6) показывает, что величина разности y(x)-x в главном определяется величиной b (действительной частью самых правых нулей r). В частности, если правее вертикали s=q, , для функций y(x), p(x) справедливы следующие асимптотич. выражения:

Наоборот, из этих соотношений следует, что для . Если справедлива гипотеза Римана, т.