Математическая энциклопедия - предел

одно из основных понятий математики, означающее, что какая-то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек-рому постоянному значению. Основным при определении П. является понятие близости рассматриваемых объектов: только после его введения П. приобретает точный смысл. С П. связаны основные понятия математич. анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев П. является П. последовательности.

Предел последовательности. Пусть X - топологич. пространство. Последовательность его точек х n, n=1, 2, ... , наз. сходящейся к точке или, что то же самое, точка х 0 наз. пределом данной последовательности, если для любой окрестности Uточки х 0 существует такое натуральное N, что для всех n>N выполняется включение ; при этом пишут

В случае, когда X - хаусдорфово пространство, П. последовательности , если он существует, единствен. Для метрич. пространства Xточка х 0 является П. последовательности {х n} тогда и только тогда, когда для любого e>0 существует такое натуральное N, что для всех номеров n>N выполняется неравенство r(xn, x0)<e, где r( х п, х 0) - расстояние между точками х п и х 0. Если последовательность точек метрич. пространства сходится, то она ограничена. Последовательность точек полного метрич. пространства является сходящейся в том и только в том случае, когда она фундаментальная. В частности, это верно для числовых последовательностей, для к-рых исторически впервые возникло понятие П. последовательности. Для числовых последовательностей справедливы формулы

с - произвольное фиксированное число,

а если то

Эти свойства числовых последовательностей переносятся на П. последовательностей более общих структур, напр, свойство П. суммы на последовательности точек линейных топологич. пространств, свойства П. произведения на последовательности точек топологич. групп и т. д.

Если действительные числовые последовательности и сходятся и , n=1, 2, ... , то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются. Если

и , то последовательность zn, n=l, 2, ... , сходится к тому же П.: . Эти свойства обобщаются на П. последовательностей точек упорядоченных множеств.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность действительных чисел х п, т. е. такая, что х п х п+1 (соответственно х п х n+1), n=1, 2, ... , ограниченная сверху (снизу), сходится, и ее П. является верхняя (нижняя) грань множества ее значений. Напр., если а>0, k - натуральное число, а п - приближенное значение корня с пдесятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то а п, п=1,2, ... , образуют возрастающую последовательность и Другим примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность периметров правильных многоугольников с псторонами, n=3, 4, ... , вписанных в нек-рую окружность, к длине к-рой и сходится эта последовательность.

Особую роль в теории числовых последовательностей играют бесконечно малые последовательности, т.