Математическая энциклопедия - шварца лемма
Связанные словари
Шварца лемма
если функция f(z) регулярна в круге E={|z|<1 }, f(0)=0 и в E, то при справедливы неравенства
причем знаки равенства в них (в первом из неравенств (1) при имеют место только в случае, когда где -действительная постоянная (классическая форма Ш. л.). Эта лемма была доказана Г. Шварцем (см. [1]).
Известны различные формы Ш. л. Напр., инвариантная форма Ш. л.: если функция f(z) регулярна в круге . и в Е, то для любых точек справедливо неравенство
где -гиперболич. расстояние между точками а, Ь в круге E(см. Гиперболическая метрика);кроме того, при справедливо неравенство
при этом знаки равенства в (2) и (3) имеют место только в случае, когда f(z) дробно-линейное отображение круга Ена себя.
Неравенство (3) наз. также дифференциальной формой Ш. л. Интегрирование этого неравенства приводит к следующей формулировке Ш. л : при отображении круга Е с помощью регулярной функции f(z), для к-рой |f(z)|<1 при гиерболич. длина произвольной дуги в Еуменьшается, за исключением того случая, когда f(z) реализует однолистное конформное отображение круга Ена себя, в этом случае гипeрболич. расстояния между точками Eсохраняются.
Обобщением инвариантной формы Ш. л. на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. метрика, служит гиперболической метрики принцип. Известны аналоги Ш. л. для голоморфных отображений в n-мерном комплексном пространстве (см. [4]).
Лит.:[1] Schwarz H. A., Ges. math. Ahli., Bd 1-2, В., 1890; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.Л., 1941; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 2.
Г. В. Кузьмина.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 551 | |
2 | 478 | |
3 | 475 | |
4 | 469 | |
5 | 451 | |
6 | 434 | |
7 | 434 | |
8 | 430 | |
9 | 420 | |
10 | 420 | |
11 | 417 | |
12 | 410 | |
13 | 400 | |
14 | 372 | |
15 | 370 | |
16 | 368 | |
17 | 362 | |
18 | 360 | |
19 | 359 | |
20 | 358 |