Математическая энциклопедия - синтаксический язык

язык, предназначенный для изучения формализованного языка в отвлечении от его главной интерпретации. Понятие о С. я. возникло в математич. логике в связи с вопросами формализации и исследования содержательных математич. теорий. Результатом формализации какой-либо содержательной теории является формальная система, к-рую можно рассматривать как самостоятельный объект исследования, забыв о ее происхождении. Для исследования формальных систем в таком плане служит С. я.

В С. я. дается описание языка формальной системы, т. е. его исходных символов, термов, формул и пр., определяется понятие вывода в формальной системе, формулируются и доказываются теоремы о формальной системе. Таким образом, с формальной системой связываются два языка: один исследуемый язык самой формальной системы (объектный, или предметный, язык), другой язык, на к-ром ведется исследование формальной системы (С. я.).

С. я. должен содержать имена для символов и формул языка-объекта, а также переменные, значениями к-рых являются сами символы и формулы. При этом символы и формулы языка-объекта выступают в С. я. в качестве своих собственных имен (т. е. в качестве имен, обозначающих сами эти символы и формулы). С. я., как правило, не должен содержать языковых средств для рассуждения о бесконечных совокупностях как самостоятельных объектах. Чтобы подчеркнуть ото обстоятельство, говорят об элементарном синтаксисе для данной формальной системы, в противоположность синтаксису теоретическом у, в к-ром допускается рассмотрение произвольных образований. Язык теоретич. синтаксиса наз. также метаязыком. Достаточно четко очерченный С. я. может быть формализован и стать объектным языком. Многие достаточно сильные формальные системы могут служить формализациями своего собственного элементарного С. я. На этом факте основано доказательство Гёделя теоремы о неполноте формальных систем.

В языках теоретич. синтаксиса можно рассматривать модели данной формальной системы и говорить об истинности формул формальной системы в моделях. В качестве примера формализованного языка теоретич. синтаксиса элементарной арифметики можно указать на язык арифметики 2-го порядка.

Лит.:[1] Чёрч А., Введение в математическую логику пер. с англ., М., 1960. В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985