Математическая энциклопедия - синус гордона уравнение

Sinе-Gоrdоn уравнение,релятивистски инвариантное уравнение, в пространственно-временных переменных имеющее вид

(A)

Название предложено М. Крускалом по аналогии с линейным Клейна Гордона уравнением (где вместо sin истоит и). В характеристических (светоподобных) переменных С. Г. у. выглядит так:

(B)

Как в случае (А), так и в случае (В) С. Г. у. допускает представление Лакса

с линейными операторами Lи М, что позволяет применить к нему метод обратной задачи рассеяния ([L, M]=LM-ML). Задача Коши для С. Г. у. формулируется следующим образом. Случай (А):

Случай (В):

Здесь пространство Шварца быстроубывающих функций. Задачи Коши (А) и (В) при нек-рых дополнительных ограничениях на начальные данные однозначно разрешимы в указанных классах, и множества их решений совпадают. Эволюция данных рассеяния соответствующих L-операторов дается явными формулами, а решения и( х, t).и и(s, t) находятся с помощью интегральных уравнений типа Гельфанда Левитана Марченко.

Периодич. задача для С. Г. у. может быть исследована с помощью алгебро-геометрич. метода (подобно тому, как это делается для Кортевега де Фриса уравнения);в частности, получены явные выражения для конечнозонных решений С. Г. у. через q-функции на соответствующих абелевых многообразиях.

Гамильтонова формулировка С. Г. у. заключается в том, что, напр., в случае (А) оно представляет собой гамильтонову систему с гамильтонианом

и симплектич. формой

Эта система является вполне интегрируемой, и переход от переменных u и p к данным рассеяния соответствующего оператора Lявляется канонич. преобразованием к переменным типа действие-угол. Фазовое пространство параметризуется канонически сопряженными переменными трех типов:

Полная энергия P0 и полный импульс

поля ив новых переменных выглядят следующим образом:

В случае (В) также получается вполне интегрируемая гамильтонова система.

Одно из приложений к квантовой теории поля. Пусть и( х, t).скалярное поле с лагранжианом

(здесь у константа связи). С. Г. у. является уравнением Эйлера Лагранжа для этого лагранжиана. При квазиклассич. квантовании поля иосновную роль играют приведенные выше выражения для Р 0 и Р 1. Первые члены в правых частях указанных формул отвечают частицам с массой тчастицам основного поля. Переменным второго и третьего типов соответствуют локализованные решения С. Г. у. солитоны и двойные солитоны с массами Ми 2Мsin q. Система обладает законом сохранения (топологич. заряд):

Частицы первого и третьего типов имеют заряд, равный 0, а у частиц второго типа заряд равен +1. Частицы с одинаковыми зарядами отталкиваются, а с разными зарядами притягиваются. Наличие бесконечного числа законов сохранения означает, что при рассеянии сохраняются количества частиц каждого типа; n-частичная S-матрица сводится к парным S-матрицам. С помощью интеграла по траекториям можно вычислить квантовые поправки к массам и к квазиклассической S-матрице солитонов. Одним из нетривиальных свойств указанной модели является появление целого спектра частиц (солитонов), в то время как лагранжиан теории содержит только одно поле. Кроме того, в приближении слабого взаимодействия (т. е. когда g мало) солитоны тяжелые частицы и сильно взаимодействуют.

Лит.:[1] Ablowltz M. [и др.], "Phys. Rev. Lett.", 1973, v. 30, p. 1262-64; [2] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., "Теоретич. иматем. физика", 1974, т. 21, № 2,c. 160174; [3] их же, "Тр. Матсм. ин-та АН СССР", 1976, т. 142, с. 254-66; [4] Козел В. А., Котляров В. П., "Докл. АН УССР, сер. A.", 1976, № 10, с. 878-81; [5] Корепин В. Е., Фаддеев Л. Д., "Теоретич. и матем. физика" 1975, т. 25, № 2, с. 147-63; [6] Вianсhi L., Lezioni di geo-metria differenziale, v. 2, pt 1-2, Pisa, 1923-24; [7] Фиников С. П., Изгибание на главном основании..., М.Л., 1937; [9] Пелиновский Е. Н., "Изв. вузов. Радиофизика", 1976' т. 19, № 5-6, с. 883 901. Л. А. Тахтаджян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985