Математическая энциклопедия - смешанных объемов теория

раздел теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел (см. Сложение множеств).

Объем Vлинейной комбинации выпуклых тел К i в евклидовом пространстве с коэффициентами является однородным многочленом степени потносительно

Коэффициенты Vi1....in предполагаются симметричными относительно перестановок индексов и обозначаются V( К i1,. . ., К in), поскольку они зависят только от тел К i1,. . ., К in; эти коэффициенты наз. смешанными объемами (с. о.) тел К i1, . . ., К in

Значение С. о. т. связано с универсальностью понятия с. о.: при подстановке в V( К, К1,..., Kn-1) конкретных тел К 1,..., Kn-1 получаются многие величины, связанные с телом К. В их числе: объем, площадь поверхности, интеграл по поверхности от элементарной симметрич. функции главных кривизн (в случае C² -гладкого тела), а также соответствующие характеристики проекции тела на i-мерную плоскость, 0<i<n. Частным случаем разложения (*) является разложениe Штейнера для объемов параллельных тел в

где V - объем, S - площадь поверхности, В - интегральная средняя кривизна исходного тела, объем его -окрестности. С. о. V( К 1,. . ., К п )инвариантен относительно параллельных переносов любого тела К i, монотонен (по включению тел), непрерывен и неотрицателен;V( К 1, . . ., К п)>0тогда и только тогда, когда в каждом К i можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейнонезависимы (см. [1]). Если К' - проекция Кна гиперплоскость, ортогональную единичному отрезку е, то

Объем проекции тела Кна р-мерное подпространство наз. р-й внешней поперечной мерой. Соотношения между средними значениями Wp (К)этих мер один из объектов интегральной геометрии. Функционалы Wp(K)с точностью до множителя совпадают с р-ми интегралами кривизны:

где U - единичный шар. Для С ² -гладких строго выпуклых тел с. о. Vp(K),0<р<n, равен интегралу от р-й элементарной симметрич. функции Dp главных радиусов кривизны, рассматриваемой как функция нормали на сфере S^n-1. В случае общих выпуклых тел Vp(K) есть полное значение определяемой ниже меры на S^n-l, называемой функцией кривизны. (В гладком случае Dp есть плотность Подобно тому как объем тела Кесть интеграла от его опорной функции К (и)по его поверхностной функции, т. е. по площади поверхности, перенесенной на S^n-1 сферическим отображением, так и с. о. n тел представим интегралом от опорной функции К 1 (и)одного из них по нек-рой мере на S^n-1, зависящей от остальных тeл и называемой смешанной поверхностной функцией тел К 2,. . ., Kn:

Функция кривизны определяется равенством

Основным содержанием С. о. т. являются неравенства между с. о. (см. [2], [3]). В их числе неравенство Минковского

и квадратичное неравенство Минковского

Эти неравенства тесно связаны с Брунна Минковского теоремой, справедливой не только для выпуклых тел. Обобщает эти неравенства Александрова Фенхеля неравенство, допускающее следующую модификацию (см. [2]):

В частности,

Полная система неравенств, характеризующая с. о. V(K1,..., К п), получена для двух тел, в связи с этим установлены нек-рые более общие неравенства (см. 14])

Многие геометрич. неравенства, напр. изопериметрическое неравенство классическое и ряд его уточнений, являются для выпуклых тел частными случаями неравенств для с. о.; экстремум одного из функционалов Vp(K)при фиксации другого из них достигается для шара. Неравенства С. о. т. использованы при доказательстве единственности решения обобщенной проблемы Минковского (см. [2]), устойчивости в проблемах Минковского (см. [5]) и Вейля (см. [6]), при решении проблемы Ван дер Вардена о перманенте (см. [7]). Бесконечномерный аналог понятий С. о. т. нашел применение в теории гауссовских случайных процессов (см. [7]).

С. о. т. оказалась глубоко связанной с алгебраич. геометрией. Многочлену f(z1;. . ., zn) от пкомплексных переменных сопоставляют многогранник Ньютона Для этого каждому одночлену входящему в f с ненулевым коэффициентом, сопоставляется точка многогранник есть выпуклая ооолочка этих точек. Типичное число решений системы полиномиальных уравнений f1=. . .=fn=0 равно деленному на п! с. о. многогранника Эта связь позволила, в частности, дать алгебраич. доказательство неравенства Александрова Фенхеля (см. [10]).

В С. о. т. выпуклое тело отождествляют с его опорной функцией; допускается распространение на разности этих функций, а затем на произвольные непрерывные функции на сфере (см. [2], [9]). Из аналогичного разложения для вектора центра тяжести тела умноженного на объем этого тела, определяются т.