Математическая энциклопедия - смешанного типа уравнение

дифференцированное уравнение с частными производными, к-рое в области задания принадлежит различным типам (эллиптическому, гиперболическому или параболическому).

Линейное (или квазилинейное) дифференциальное уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными переменными

и с непрерывными коэффициентами в области задания является С. т. у., если в этой области дискриминант характеристич. формы

обращается в нуль, не будучи там тождественно равным нулю.

Кривая определяемая уравнением наз. параболической линией уравнения (1), или линией вырождения (изменения) типа уравнения.

Если дискриминант в области не меняет знака при переходе точки ( х, у )через параболич. линию то уравнение (1) относится к вырожденным уравнениям эллиптико-параболического или гиперболо-параболического типа (см. Вырожденное уравнение с частными производными).

При нек-рых условиях гладкости коэффициентов А, В, С и параболич. линии существуют неособое действительное преобразование независимых переменных, приводящее уравнение (1) со знакопеременным дискрилншантом (в окрестности выбранной точки линии где к одному из следующих канонич. видов (обозначения для независимых переменных сохранены):

Уравнения (2) и (3) являются С. т. у. (эллиптико-параболич. типа) в любой области, содержащей внутри себя интервал линии вырождения y = 0.

Область задания С. т. у. принято называть смешанной областью, а краевые задачи в смешанных областях смешанными краевыми задачами. Часть смешанной области где уравнение принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу, наз. областью эллиптичности (гиперболичности).

К отысканию определенных решений С. т. у. сводятся многие проблемы прикладного характера, в частности проблемы околозвукового течения сжимаемой среды и безмоментной теории оболочек.

С. т. у. (1) наз. уравнением первого рода (второго рода), если всюду вдоль параболич. линии характеристич. форма Уравнение Чаплыгина

где k(у) - непрерывно дифференцируемая монотонная функция такая, что yk(y)>0 при -типичный пример С. т. у. 1-го рода. При k(y) = y уравнение (4) принято называть Трикоми уравнением.

Важной моделью С. т. у. (с разрывными коэффициентами при старших производных) является уравнение Лаврентьева Бицадзе

Одной из основных краевых задач для С. т. у. (первого рода) является задача Трикоми, к-рая для уравнения вида (2) ставится следующим образом. Пусть конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных хи у, ограниченная простой жордановой кривой о с концами в точках А(0,0), В(1,0), лежащей в полуплоскости у>0, и частями АС и ВС характеристик уравнения (2), выходящими из точки С(1/2, у C), yC<0. Задача Трикоми заключается в отыскании решения и( х, у )уравнения (2), непрерывного в замыкании области и принимающего наперед заданные значения на кривой

В теории задачи Трикоми существенную роль играет принцип экстремума Бицадзе, к-рый в случае уравнения (5) гласит: решение и( х, у )уравнения (5) из класса обращающееся в нуль на характеристике АС: х+у=0, в замыкании области эллиптичности своего экстремума достигает на кривой

Этот принцип, из к-рого следует единственность и устойчивость решения задачи Трикоми, а также обоснование альтернирующего метода его отыскания, распространен на весьма широкий класс линейных и квазилинейных С. т. у. В частности, этому классу принадлежат уравнения Чаплыгина (и Трикоми), если k(у)дважды непрерывно дифференцируема и при у<0. Принцип экстремума Бицадзе остается в силе и для уравнения

Решение задачи Трикоми для уравнения (6) в соответствующей смешанной области выписывается в явном виде, если эллиптич. часть а границы этой области совпадает с т. н. нормальным контуром

В общем случае при определенных условиях на кривую и на класс искомых решений задача Трикоми для уравнения (6) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению, безусловная разрешимость к-рого следует из единственности решения. Метод интегральных уравнений успешно применяется и при доказательстве существования решения задачи Трикоми и др. смешанных задач для более общих уравнений вида

со степенным вырождением порядка

Методы теории функций и функционального анализа, особенно метод априорных оценок, позволили значительно расширить класс С. т. у. и смешанных областей, для к-рых имеет место единственность и существование (обобщенного) решения как задачи Трикоми, так и ряда др. смешанных задач.

Существенным обобщением задачи Трикоми является общая смешанная задача Бицадзе, к-рая в случае уравнения (5) ставится следующим образом. Пусть односвязная смешанная область, ограниченная лежащей в полуплоскости у>0 простой жордановой кривой с концами в точках А(0,0), В(1, 0) и выходящими из этих точек (гладкими) монотонными кривыми Г 0 и Г 1, к-рые пересекаются в точке С(x1, y1), y1<0. Предполагается, что кривые Г 0 и Г 1 принадлежат области, ограниченной характеристиками х+у =0, х-у =1и отрезком прямой у=0. Через В 0 и В 1 обозначены точки пересечения характеристик х-у=х 0 и х+у=х0 с кривыми Г 0 и Г 1, где х 0 любая фиксированная точка из полуинтервала а через и части кривых Г 0 и Г 1, лежащих между точками А, В 0 и В, В1 соответственно. Общая смешанная задача Бицадзе заключается в отыскании регулярного (при решения уравнения (5) в области к-рое непрерывно в имеет непрерывные первые производные в при и удовлетворяет заданным краевым условиям на кривых и Единственность и существование решения этой задачи как для уравнения (5), так и для более общих уравнений доказаны при нек-рых условиях геометрия, характера на границу области особенно на кривую Общую смешанную задачу Бицадзе можно считать полностью исследованной в частном случае, когда кривая Г 1 совпадает (х 0=1) свыходящей из точки Вхарактеристикой ВС. Важным следствием корректности общей смешанной задачи Бицадзе, напр. для уравнения(5), является тот факт, что для смешанных областей вида Дирихле задача некорректна независимо от величины и формы области гиперболичности

Для довольно широкого класса линейных уравнений

установлено, что на корректность задачи Дирихле в соответствующих смешанных областях вида существенное влияние может оказать коэффициент а (х, у).

Смешанной задачей нового типа является задача Франкля. Пусть односвязная область ограничена: отрезком А'А, прямой х=0; гладкой кривой с концами в точках А(0, 1) и В( а,0), расположенной в квадранте х>0, y>0; отрезком прямой у=0 и проходящей через точки А'(0,1), С(а 1,0) характеристикой рассматриваемого С.