Математическая энциклопедия - сопряженная функция

понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций.

1) С. ф. к комплекснозначной функции . наз. функцию значения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям f.

2) С. ф. к гармонической функции см. Сопряженные гармонические функции.

3) С. ф. к -периодической суммируемой на функции f(x)наз. функцию

она существует почти всюду и почти всюду совпадает с -суммой, или суммой Абеля Пуассона сопряженного тригонометрического ряда.

4) С. ф. к функции определенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы <x,у>) с векторным пространством Y - функция на Y, задаваемая соотношением

Для функции, заданной на Y, сопряженная функция определяется аналогично.

С. ф. к функции одного переменного будет функция

С. ф. к функции в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением будет функция С. ф. к норме в нормированном пространстве будет функция N*(y), равная нулю, если и равная если

Если f гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то f* не что иное, как Лежандра преобразование функции f. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом [1], в других терминах. У. Юнг определял С. ф. к функции

где непрерывна и строго возрастает, соотношением

где функция, обратная к Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае В. Фенхелем [2], в бесконечномерном Ж. Моро [3] и А. Брёнстедом [4]. Для выпуклой функции н сопряженной с ней выполнено неравенство Юнга

С. ф.выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*: однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Xна совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Y (теорема Фенхеля Моро).

Подробнее см. [5] и [6].

См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе.

Лит.:[1] Joung W. H., лProc. Roy. Soc. A

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985