Математическая энциклопедия - триангуляция

1) Т. полиэдра, прямолинейная триангуляция, представление полиэдра в виде тела геометрического симплициального комплекса К, т. е. такое его разбиение на замкнутые симплексы, что каждые два симплекса либо не пересекаются, либо пересекаются по их общей грани. Прямолинейные Т. полиэдров служат основным инструментом их изучения. Любой полиэдр имеет Т. и любые две его Т. имеют общее подразделение.

Замкнутой звездой симплекса Т. Тназ. объединение симплексов из Т, содержащих Имеется представление замкнутой звезды симплекса в виде соединения (джойна) и его пояса (линка): В частности, звезда вершины является конусом над ее поясом. Если симплекс представлен в виде соединения двух своих граней и то Пояс симплекса не зависит от Т.: если служит симплексом произвольных прямолинейных Т. Т 1, Т 2 одного и того же полиэдра, то полиэдры и pl -гомеоморфны. Открытая звезда симплекса определяется как объединение внутренностей тех симплексов Т. Т, для к-рых служит гранью. Открытые звезды вершин Т. полиэдра Робразуют открытое покрытие Р. Нерв этого покрытия симплициально изоморфен Т, Триангуляции Т 1 и Т 2 полиэдров P1 и Р 2 комбинаторно эквивалентны, если нек-рые их подразделения симплициально изоморфны. Для комбинаторной эквивалентности Т 1 и Т 2 необходимо и достаточно pl -гомеоморфности Р 1 и Р 2. Т. многообразия наз. комбинаторной, если звезда любой ее вершины комбинаторно эквивалентна симплексу. В этом случае звезда любого симплекса Т. также комбинаторно эквивалентна симплексу.

Если Рзамкнутый подполиэдр полиэдра Q, то любая Т. K полиэдра Рпродолжается до нек-рой Т. . полиэдра Q. В этом случае говорят, что пара геометрических симплициальных комплексов (L, К )триангулирует пару (Q, Р). Т. прямого произведения симплексов можно построить следующим способом. Вершинами Т. служат точки где а i вершины a bjвершины Ha вершины где тогда и только тогда натянут k-мерный симплекс, когда среди них нет совпадающих и Аналогичным способом производится Т. прямого произведения двух симплициальных комплексов с упорядоченными вершинами.

2) Т. топологического пространства, криволинейная триангуляция,пара ( К, f), где Кгеометрия, симплициальный комплекс и гомеоморфизм. Т. ( К, f) и (L, g )пространства Xсовпадают, если симплициальный изоморфизм. Если s симплекс комплекса Ки ( К, f) Т. пространства X, то пространство снабженное гомеоморфизмом наз. топологическим симплексом. Звезда и пояс топологич. симплекса триангулированного топологич. пространства Xопределяются так же, как и в случае прямолинейных Т. Если точка служит вершиной Т. ( К, f) и (L, g )пространства X, то ее пояса в этих Т. гомотопически эквивалентны.

Лит.:[1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; [2] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977.

С. В. Матвеев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985