Математическая энциклопедия - полиэдр

объединение локально конечного семейства выпуклых многогранников в нек-ром Rⁿ. Под выпуклым многогранником понимается пересечение конечного числа замкнутых полупространств в случае, если это пересечение ограничено. Локальная конечность семейства означает, что каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом многогранников. Компактный П. является объединением конечного числа выпуклых многогранников. Размерность П. определяется как максимальная размерность составляющих его многогранников. Любое открытое подмножество П., в частности любое открытое подмножество евклидова пространства, есть П. Полиэдрами являются также конус и надстройка над компактным П. Простые примеры (конус над интервалом) показывают, что соединение компактного и некомпактного П. может не быть П. Подполиэдром полиэдра Qназ. любой полиэдр Р, лежащий в Q. Иногда ограничиваются рассмотрением только замкнутых подполиэдров. Каждая точка а полиэдра обладает в Рокрестностью, являющейся конусом в с вершиной а и с компактным основанием. Это свойство оказывается характеристическим: любое подмножество , каждая точка к-рого имеет конич. окрестность с компактным основанием, является П.

Каждый компактный полиэдр Рможно так разбить на конечное число замкнутых симплексов, чтобы каждые два симплекса либо не пересекались, либо пересекались по их общей грани. В случае некомпактного П. требуется, чтобы семейство симплексов было локально конечным. Такое разбиение наз. прямолинейной триангуляцией П. Любые две триангуляции одного и того же П. имеют общее подразделение. Если Р - замкнутый подполиэдр полиэдра Q, то любая триангуляция Кполиэдра Рпродолжается до нек-рой триангуляции Lполиэдра Q. В этом случае говорят, что получающаяся пара (L, К).геометрических симплициальных комплексов триангулирует пару (Q, Р). Отображение f полиэдра в полиэдр наз. кусочно линейным, или pl -отображением, если f является симшгациаль-ным в нек-рых триангуляциях полиэдров Ри Q. Эквивалентное определение: f кусочно линейно, если f локально коническое, т. е. если каждая точка имеет такую конич. окрестность N=a*L, что f (la+mx)=lf(а)+mf(x) при любых и Для того чтобы отображение f было кусочно линейным, необходимо и достаточно, чтобы его график являлся П. Суперпозиция кусочно линейных отображений кусочно линейна. Обратное отображение к обратимому кусочно линейному отображению f кусочно линейно. В этом случае f наз. pl- гомеоморфизмом.

Категория, объектами к-рой являются П. (и полиэдральные пары), а морфизмами являются pl -отображе-ния, обозначается PL или (см. также Кусочно линейная топология). Категория PL является одним из основных объектов и инструментов исследования в топологии. Особенно велика роль категории PL в алгебраической топологии и топологии многообразий. Это объясняется тем, что класс П. достаточно широк.

Напр., каждое дифференцируемое многообразие можно естественным образом представить в виде П. Каждое непрерывное отображение одного П. в другой сколь угодно точно аппроксимируется pl -отображением. Поэтому категория PL является хорошим приближением к категории всех топологич. пространств и непрерывных отображений. С другой стороны, триангулируемость П. позволяет использовать методы комбинаторной топологии. Многие алгебраич. инварианты (напр., гомологии группы, когомологий кольцо).строятся и эффективно вычисляются с помощью разбиения на симплексы. Вопрос о том, всякие ли гомеоморфные полиэдры pl -гомеоморфны, носит название основной гипотезы и решается отрицательно: для п 5 существуют гомеоморфные, но не рl -гомеоморфные n-мерные П. (см. [3]). При п 3 гомеоморфные n-мерные полиэдры pl -гомеоморфны, при n=4 вопрос остается (1983) открытым для компактных П. и решается отрицательно для некомпактных: существует нестандартная pZ-структура на . Полиэдр Мназ. и-мерным pl- многообразием, если каждая его точка имеет окрестность, pl -гомеоморфную или . Всякая прямолинейная триангуляция T pl -многообразия Мкомбинаторна. Это означает, что звезда каждой ее вершины комбинаторно эквивалентна симплексу. Основная гипотеза для П., являющихся n-мерными топологич. многообразиями, естественно распадается на две гипотезы: гипотезу о комбинаторности всякой триангуляции такого П. и основную гипотезу для pl- многообразий. Одним из важнейших достижений современной топологии является отрицательный ответ на обе гипотезы для n5 (см. [4], [5]). Для п 3 обе гипотезы справедливы.