Математическая энциклопедия - векторное поле

на многообразии Mсечение касательного расслоения . Множество В. п. образует модуль над кольцом Fдифференцируемых функций на М.

Пример 1. Для карты многообразия Мопределяется i-е базисное В. п. д/дxⁱ по формуле

есть i-й базисный касательный вектор к Мв точке р, и любое В. п. однозначно представляется в виде

наз. компонентами В. п. Xв карте . В. п. является дифференцированием кольца F, вследствие чего множество В. п. образует относительно операции коммутирования (скобки Ли) алгебру Ли.

Пример 2. Для карты и функция определяется формулой

где частная производная по наз. производной от по направлению X. Пример 3. Для карты и коммутатор (скобка Ли) [X, Y]В. п.

определяется формулой

он удовлетворяет соотношениям:

в частности

Каждое В. п. Xиндуцирует на Млокальный потоксемейство диффеоморфизмов окрестности U

такое, что для и

интегральный путь В. п. X, т. е.

где В. п., касательное к отображению . И наоборот, В. п. Xассоциировано с локальным потоком вариацией отображения ; при этом

Каждое В. п. определяет дифференцирование Ли LX тензорного поля типа со значениями в векторном пространстве (инфинитезимальное преобразование ), соответствующее локальному потоку частными случаями к-рого являются действие В. п. на

и скобка Ли

В. п. без особенностей порождает на Минтегрируемую одномерную дифференциальную систему и ассоциированную с ней Пфаффа систему.

Обобщением понятия В. п. на многообразии является В. п. вдоль отображения сечение расслоения , индуцированного , а также тензорное поле типа сечение ассоциированного с при помощи функтора расслоения .

Лит.:[1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [2] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [3] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [4] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., I960; [5] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [6] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964. А. Ф. Щекутьев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985