Математическая энциклопедия - диффузии уравнение

дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс диффузии, т. е. процесс выравнивания концентрации в среде с неравномерным распределением вещества. Д. у. имеет вид

(1)

где с коэффициент пористости, Dкоэффициент диффузии, и( х, t)концентрация вещества в точке хсреды в момент времени t. Вывод Д. у. проводится путем подсчета баланса массы вещества с использованием закона диффузии Нернста. При этом подразумевается, что в рассматриваемой области отсутствуют источники вещества и диффузия во внешнюю среду. Такое Д. у. наз. однородным Д. у. Если в рассматриваемой области имеются источники вещества с объемной плотностью распределения F(x, t), то процесс диффузии описывается неоднородным Д. у. с правой частью F(x, t). Учет распада или размножения вещества со скоростью, пропорциональной наличной концентрации, приводит к члену ±l ди/дх в правой части Д. у.

Д. у. есть уравнение параболического типа. Для выделения единственного решения ставятся начальное и краевые условия. Начальное условие для Д. у. состоит в задании концентрации u0 (х)вещества в начальный момент

Если при этом вещество заполняет все пространство, то получают задачу Коши (1), (2). Если же диффундирующее вещество заполняет объем V, ограниченный боковой поверхностью S, то, наряду с начальным условием (2), на Sзадается граничное условие. Основными являются следующие три линейных граничных условия для Д-у.

1) На Sзадана концентрация q(x, t )вещества; тогда

есть граничное условие I рода.

2) Задана плотность потока q(x, l )вещества, входящего в Vчерез S;тогда

где пвнутренняя нормаль к поверхности S, есть граничное условие II рода (если Sнепроницаема, то g(x, t)=0).

3) Sполупроницаема и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией в( х, t )через Sпроисходит по линейному закону; тогда

есть граничное условие III рода.

Возможны и другие, в том числе и нелинейные граничные условия на S, а также условия, содержащие производные более высокого порядка, чем входящие в Д. у. Являясь частным случаем дифференциального уравнения, описывающего физич. процессы выравнивания, Д. у. аналогично теплопроводности уравнению, Навье Стокса уравнению для ламинарного потока несжимаемой жидкости, уравнению чистой электропроводности и т. д.

Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Зизд., М., 1966.

Л. И. Камынин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985