Математическая энциклопедия - диффузионный процесс

непрерывный марковский процесс X=X(t)с переходной плотностью p(s, х, t, у), удовлетворяющей следующим условиям: существуют функции a(t, х )и s²(f, x), называемые соответственно коэффициентами сноса и диффузии, такие, что для любого e>0

(причем обычно предполагается, что эти предельные соотношения выполняются равномерно по tв каждом конечном интервале и по x, ).

Важнейшим представителем этого класса процессов является процесс броуновского движения, впервые рассмотренный как математич. модель процессов диффузии (отсюда и название "Д. п.").

Если переходная плотность р(s, x, t, у )непрерывна по s и х вместе со своими производными р (s, x, t, у )и p(s, х, t, у), то она является фундаментальным решением дифференциального уравнения

к-рое наз. обратным уравнением Колмогорова.

В однородном случае, когда коэффициенты сноса a(t, x)=a(x)и диффузии s²(t, x)=s²x). не зависят от времени t, обратное уравнение Колмогорова для соответствующей переходной плотности р(s, x, t, y)=p(t-s, х, у )имеет вид:

Если переходная плотность р(s, x, t, у )имеет непрерывную по t и упроизводную р(s, х, t, у )такую, что функции [a(t, y)p(s, x, t, у)]и [s²(t, y)p(s, х, t, у)]непрерывны по у, то она является фундаментальным решением дифференциального уравнения

к-рое наз. уравнением Фоккера Планка, или прямым уравнением Колмогорова. Дифференциальные уравнения (2) и (3) для плотности вероятности являются основой аналитич. методов изучения Д. п. Существует и другой, чисто "вероятностный", подход к Д. п., основанный на представлении процесса X(t)как решения стохастического дифференциального уравнения Ито

где Y(t)стандартный процесс броуновского движения. Грубо говоря, при таком подходе считают X(t)связанным с нек-рым процессом броуновского движения Y(t)таким образом, что при условии X(f)=x за последующее время At приращение AX(t)=X(t+At)-X{t )есть

Если понимать это асимптотич. соотношение в том смысле, что

где o(At)величины того же типа, что и в равенствах (1), то рассматриваемый процесс X(t)будет диффузионным и в смысле этого определения.

Многомерным Д. п. обычно наз. непрерывный марковский процесс X(t)=(X1(t), . .., Х n(t)}в п-мерном векторном пространстве Е ^п, переходная плотность p(s, х, t, у )к-рого удовлетворяет следующим условиям: для любого e>0

Вектор а={a1(t, х), ..., an(t, x)}характеризует локальный снос процесса x(t), матрица s²= ||2bkj(t, x)||, k, i=1,..., п, характеризует среднеквадратичное отклонение случайного процесса x(t) от исходного положения хза малый промежуток времени от tдо t+Dt. При нек-рых дополнительных ограничениях переходная плотность р(s, х, t, у )многомерного Д. п. удовлетворяет обратному и прямому дифференциальным уравнениям Колмогорова:

Многомерный Д. п. X(t)может быть описан также при помощи стохастических дифференциальных уравнений Ито:

где Y1(t), ..., Yn(t)взаимно независимые процессы броуновского движения, а

суть собственные векторы матрицы s²= ||2bkj(t, x)||. Лит.:[1] Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965; [2] их же, Стохастические дифференциальные уравнения, К., 1968.

Ю. А. Розанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985