Математическая энциклопедия - дифференциальные уравнения на торе

потоки на торе,класс динамических систем. Примером может служить поток, порожденный групповыми сдвигами тора (как Ли группы )на элементы к.-л. однопараметрич. подгруппы тора. В терминах "угловых", или "циклических", координат на торе, отсчитываемых по модулю 1 (их можно рассматривать как обычные координаты в евклидовом пространстве Rⁿ, из к-рого тор Т ^п получается как факторгруппа по целочисленной решетке Z ^п), этот поток описывается так: за время tточка х=( х 1,. . ., х п )переходит в точку

где w=(w1, . . ., wn) набор так наз. базисных частот. Все траектории этого потока являются квазипериодическими функциями времени; их свойства определяются арифметич. свойствами базисных частот. Так, траектории периодичны, если все wi кратны одному и тому же числу. В другом крайнем случае, когда wi линейно независимы над Z (т. е. никакая нетривиальная линейная комбинация с целыми ki не равна нулю), каждая траектория всюду плотно заполняет тор (говорят об иррациональной обмотке тора), а поток эргодичен (по отношению к Хаара мере на Т ⁿ;. мера Хаара естественным образом получается из меры Лебега в Rⁿ при факторизации по Z ^п и сохраняется при сдвигах T^t). и даже строго эргодичен; его спектр дискретен.

Подобные потоки часто возникают в различных вопросах. Напр., для интегрируемых гамильтоноеых систем"типичные" финитные (т. е. остающиеся в конечной области фазового пространства) движения приводят как раз к ним (соответствующие торы суть многообразия уровня системы первых интегралов, см. [8]). Обычно такие инвариантные торы с иррациональными обмотками имеются также и у гамильтоновых систем, достаточно близких к интегрируемым (этот вопрос тесно связан с малыми знаменателями).

Для двумерного тора T² А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]), А. Данжуа [2] (см. также [3]) и X. Кнезером ([4], модифицированное изложение см. в [5], [6]) полностью выяснены возможные типы качественного поведения траекторий потоков без положений равновесия. (Из всех замкнутых поверхностей только на торе и Клейна поверхности возможны такие потоки, причем изучение потоков на последней в основном сводится к изучению потоков на торе, являющемся ее двулистной накрывающей поверхностью). Об этих потоках известно следующее. Если на поверхности имеется двусвязная область ("кольцо Кнезера",) к-рая ограничена двумя замкнутыми траекториями и внутри к-рой траектории свиваются с одной из них и навиваются на другую в противоположном направлении (см. рис.), то качественное поведение траекторий на поверхности напоминает поведение траекторий в ограниченной области на плоскости. В частности, все непериодич. траектории в обе стороны по времени стремятся к периодическим. Более интересен случай (возможный лишь на торе), когда колец Кнезера нет; это эквивалентно существованию замкнутой трансверсали L(т. е. замкнутой кривой, нигде не касающейся векторного поля), к-рую каждая траектория пересекает бесконечное число раз. На Lопределено отображение исследования Sгомеоморфизм, переводящий точку в первую по времени точку пересечения проходящей через хположительной полутраектории с L. Характеристикой каскада {Sⁿ}на Lслужит число вращения Пуанкаре a. (см., например, [3]. Оно отчасти зависит от конкретного выбора L; совершенно инвариантной характеристикой исходного потока является асимптотический цикл [14]). Согласно теореме Данжуа, если Sкласса С ² (что гарантировано при соответствующей гладкости трансверсали и исходного потока на торе) и a. иррационально, то Sтопологически сопряжен с поворотом окружности на угол 2pa, т. е. на Lможно так ввести циклич. координату х, что Sпредставится в виде mod 1. (Если Sкласса С ¹, то это не обязательно так, см. [2].) Тогда разбиение тора на траектории с точностью до гомеоморфизма является таким же, как и в случае (1) (однако это не относится к скорости движения по ним). Гладкость замены координат, гарантируемая теоремой Данжуа, зависит (помимо гладкости S)от арифметических свойств числа вращения а. При почти всех а из следует, что замена координат принадлежит классу С ^n-2 [9], но для чисел вращения, очень быстро приближающихся рациональными числами, замена координат, вообще говоря, не гладкая, даже если преобразование Sаналитическое (см. [7]).

Если исходный поток на Т ² имеет интегральный инвариант, то колец Кнезера быть не может, a S(независимо от рациональности или иррациональности а) гладко сопряжено с поворотом окружности; таким образом, при отсутствии положений равновесия на торе существуют циклич. координаты х, у того же класса гладкости, что и сам поток, в к-рых последний принимает вид:

(здесь aчисло вращения, отвечающее замкнутой трансверсали х=const). При достаточной гладкости f и надлежащих свойствах aпоток (2) можно привести к (1) (с n=2 и w=(1, a)) посредством нек-рого диффеоморфизма, в общем же случае это не всегда возможно, и даже эргодические свойства потока (2) могут отличаться от свойств потоков (1) (возможен непрерывный спектр, хотя перемешивание в гладком случае невозможно). См. [10] (опущенные доказательства восстановлены в [11], [12]) и [13].

Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.Л., 1947; [2] Denjоу A., "J. math, pures et appl.", ser. 9, 1932, t. 11, № 4, p. 333-75; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Knescr H., "Math. Ann.", 1924, Bd 91, № 1-2, S. 135-54; [5] Eeinhart В. L., "Amer. J. Math." 1959, v. 81, № 3, p. 617-31; [6] Aepplу А., Маrkus L. "Amer. J. Math.", 1963, v. 85, JVi 4, p. 633-54; [7] Apнольд В. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1961, т. 25, № 1, с. 21-86: [81 е г о же, "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, № 2, с. 471-74; [9] Herman M. R., "С. г. Acad. sci.", 1976, t. 283, №8, p. 579 82; [10] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1953, т. 93, № 5, с. 763-66; [11] Sternberg S., "Amer. J. Math.", 1957, v. 79, № 2, p. 397-402; [12] Шкловер М. Д., "Изв. ВУЗов. Математика", 1967, № 10, с. 113-24; [13] Кочергин А. В., "Докл. АН СССР", 1972, т. 205, № 3, с. 515-18; [14] Schwartzman S., "Ann. Math.", 1957, v. 66, JN5 2, p. 270-84.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985