Математическая энциклопедия - дискретная группа

преобразованийгруппа Г гомеоморфизмов хаусдорфова топологич. пространства X, удовлетворяющая следующему условию: для любых точек х,найдутся такие их окрестно-

сти U, V соответственно, что множество

конечно. Стабилизатор

точки относительно Д. г. преобразований конечен, а орбита любой точки дискретна. В случае, когда Xметрическое пространство и преобразования из Г являются изометриями, этих двух условий достаточно для того, чтобы группа Г была Д. г. преобразований. Примеры. 1) Гр5 ^г ппа параллельных переносов действительной плоскости R² на всевозможные целочисленные векторы:

2) Пусть Xверхняя комплексная полуплоскость

рассматриваемая в обычной хаусдорфовой топологии, а Г группа дробно-линейных преобразований вида

где а, b, с, dцелые числа и ad-bс=1 (модулярная группа Клейна).

3) Любая конечная группа Г гомеоморфизмов хаусдорфова топологич. пространства X. Если Xотделимо, то Г будет собственно разрывной группой преобразований (пример неприводимого алгебраич. многообразия с топологией Зариского показывает, что условие отделимости А' является существенным).

4) Скольжений группа произвольного регулярного накрытия р: X->Y, где Xсвязное и локально линейно связное, a Yхаусдорфово топологич. пространство, является Д. г. преобразований действующей свободно (т. е. Г х={1} для любой ), причем само накрытие рсовпадает с отображением факторизации по этой группе. Обратно, если Г свободно действующая Д. г. преобразований связного топологич. пространства X, то факторпространство Х/Г хаусдорфово и отображение факторизации р:регулярное накрытие пространства Х/Г с группой скольжения Г. В частности, в силу теоремы униформизации Пуанкаре Кёбе, всякая риманова поверхность, за несколькими тривиальными исключениями, может быть получена факторизацией верхней комплексной полуплоскости С + по свободно действующей Д. г. дробно-линейных преобразований с действительными коэффициентами (так наз. фуксовой группе).

5) В теории модулей римановых поверхностей (и, более общо, модулей комплексных многообразий того или иного типа) Д. г. преобразований появляются как модулярные группы. Простейшая из этих групп рассмотрена в примере 2.

6) К числу Д. г. преобразований относятся кристаллографические группы. Весьма широкий класс Д. г. преобразований, включающий фуксовы и кристаллографич. группы, составляют дискретные подгруппы топологич. групп (в частности, групп Ли), рассматриваемые как группы преобразований однородных пространств.

Замкнутое подмножество Dтопологич. пространства Xс Д. г. Г преобразований наз. фундаментальной областью группы Г, если оно является замыканием открытого подмножества и если множества y(D), где не имеют попарно общих внутренних точек и образуют локально конечное покрытие пространства X. Так, напр., для группы параллельных переносов из примера 1 в качестве фундаментальной области можно взять квадрат

или, более общо, любой параллелограмм с вершинами в целых точках, не имеющий целых точек внутри и на сторонах, а для модулярной группы Клейна (пример 2)) -так наз. модулярную фигуру

Фундаментальная область может быть построена во многих случаях. Напр., если Xполное риманово многообразие, Г Д. г. преобразований пространства X, состоящая из изометрий этого пространства, и какая-либо точка, для к-рой стабилизатор тривиален, то в качестве фундаментальной области может быть взята область Дирихле

(Здесь через d(x, у )обозначено расстояние между точками x и у из X.) Если Xодносвязное полное пространство постоянной кривизны, т. е. сфера, евклидово пространство или пространство Лобачевского, то область Дирихле является выпуклым многогранником. Построение фундаментальной области и исследование ее свойств доставляют важную информацию о Д. г. преобразований. Так, факторпространство Х/Г получается из фундаментальной области путем "склеивания" нек-рых граничных точек. Напр., для группы параллельных переносов (пример 1)) факторпространство получается из квадрата (*) склеиванием противоположных сторон и гомеоморфно двумерному тору. Понятие фундаментальной области лежит в основе комбинаторно-геометрического метода в теории Д. г. преобразований, восходящего к работам А. Пуанкаре по фуксовым [1] и клейновым [2] группам. Этот метод позволяет, с одной стороны, выяснить строение Д. г. преобразований как абстрактной группы (т. е. найти ее образующие и определяющие соотношения) и, с другой стороны, доказать дискретность и найти фундаментальную область группы преобразований с данными образующими. Суть этого метода состоит в следующем. Пусть Г Д. г. изометрий n-мерного односвязного полного пространства Xпостоянной кривизны и Ф выпуклый многогранник, являющийся ее фундаментальной областью. Тогда группа Г порождается множеством

При этом в качестве определяющих соотношений могут быть взяты всевозможные соотношения следующих двух типов: g1,g2=1, где g1, g1. и g1, g2 ...gk=1, где g1, g2, ...,gk ОM,

при i= l, 2, ... , k-1 и при l<k (см. [7], [3], [6]). Обратно, пусть Ф выпуклый многогранник в re-мерном односвязном полном пространстве Xпостоянной кривизны (не исключается вырожденный случай, когда некоторые двугранные углы многогранника Ф равны л), и для каждой (п-1)-мерной грани Fмногогранника Ф задана изометрия ,gF. пространства Xтакая, что И пусть: (1) для каждой (n-1)-мерной грани Fмногогранника Ф существует такая грань F', что ,gF,gF'= 1; (2) для каждой (п-2)-мерной грани Емногогранника Ф существует такая последовательность F1, F2,... , Fk его (n-1)-мерных граней, что ,gF1,gF2 ...,gFk=1,

и многогранники Ф, ,gF1 (Ф),,gF1,gF2 (Ф), ... , ,gF1,gF2 ... ,gFk-1 (Ф) не имеют попарно общих внутренних точек.