Математическая энциклопедия - главное расслоение

-расслоение такое, что группа Gдействует свободно и совершенно на пространстве X. Значение Г. р. состоит в том, что оно позволяет строить ассоциированные (с ним) расслоения со слоем F, если задано представление Gв группе гомеоморфизмов F. Дифференцируемые Г. р. с группами Ли играют важную роль в теории связно-стей и групп голономии. Пусть, напр., Н - топологич. группа, имеющая G своей замкнутой подгруппой, однородное пространство левых смежных классов Нпо G, тогда расслоение : является Г. р. Пусть, далее, конструкция Милнор а, т. е. соединение бесконечного числа экземпляров группы G, каждая точка к-рого имеет вид:

где причем только конечное число отлично от нуля и . Действие группы G на Х G , определенное формулой , свободно, и расслоение mod Gявляется нумерируе-мым Г. р.

Каждый слой Г. р. гомеоморфен группе G.

Морфизм Г. р.это морфизм расслоений , для к-рого отображение слоев индуцирует гомоморфизм групп

где В частности, морфизм наз. эквивариантным, если не зависит от Ь, так что для любых если и q=id, то эквивариантный морфизм наз. G-морфизмом. Любой G, S-морфизм (т. е. G-морфизм Г. р. над В).является G-изоморфизмом.

Для любого отображения и Г. р. индуцированное расслоение является Г. р. С той же группой G, причем отображение является G-морфизмом, однозначно определяющим действие G на пространстве . Напр., если Г. р. тривиально, то оно изоморфно Г. р. , где есть G-расстояние над одной точкой, j постоянное отображение. Обратное также верно, и потому Г. р., обладающее сечением, тривиально. Для каждого нумерируемого Г. р. существует такое отображение что является G-изоморфным ; при этом для изоморфности Г. р. и необходима и достаточна гомотопность f0 и f1. Это основная теорема гомотопической классификации Г. р., выражающая универсальность Г. р. (полученного с помощью конструкции Милнора) по отношению к классифицирующему отображению f.

Лит.:[1] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Дж., Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [2] Номидзy К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [3] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. о англ., М., 1970; [4] Расслоенные пространства и их приложения, сб. переводов, М., 1958; [5] Стинрод Н., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [6] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970. А. Ф. Щекутьев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985