Математическая энциклопедия - монотонный оператор
Связанные словари
Монотонный оператор
одно из понятий нелинейного функционального анализа.
Пусть Ебанахово пространство,его сопряженное, значение линейного функционала на элементе . Оператор А, вообще говоря, нелинейный и действующий из , наз. монотонным, если
для любых . Оператор наз. полунепрерывным, если для любых числовая функция непрерывна по t. Примером полунепрерывного М. о. является градиент выпуклого дифференцируемого в смысле Гато функционала. Многие функционалы вариационного исчисления выпуклы и потому порождают М. о.; они полезны при решении нелинейных интегральных уравнений и именно к ним впервые применялись.
Различные приложения М. о. к вопросам разрешимости нелинейных уравнений основаны на следующей теореме (см. [1], [2]). Пусть Ерефлексивное банахово пространство и Аполунепрерывный М. о., обладающий свойством коэрцитивности,
Тогда для любого уравнение имеет хотя бы одно решение.
Определенный на множестве оператор Асо значениями в наз. монотонным на D, если неравенство (1) имеет место для любых и максимальным монотонным, если он монотонный на Dи не имеет строгого монотонного расширения.
Исследование уравнений с М. о. во многом стимулировалось задачами теории квазилинейных эллиптич. и параболич. уравнений. Так, напр., краевые задачи для квазилинейных параболич. уравнений приводят к уравнению вида
в подходящем банаховом пространстве Е. Такое же уравнение естественным образом возникает и при исследовании задачи Коши для абстрактных эволюционных уравнений с нелинейными операторами в банаховых пространствах. Если пространство Ерефлексивно, ограниченный, полунепрерывный и коэрцитивный М. о., а линейный максимальный М. о. с плотной в Еобластью определения, то уравнение (2) разрешимо при любом . Идеи монотонности применялись также в задаче о почти периодических решениях нелинейных параболич. уравнений.
Лит.:[1] Вrоwder F., "Bull. Amer. Math. Soc", 1963, v. 69, p. 858-61; [2] MintyG. J., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1963, v. 50, p. 1038-41; [3] Вайнберг М. М., Качуровский Р. И., "Докл. АН СССР", 1959, т. 129, № 6, с. 1199-1202; [4] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972; [5] Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с франц., М., 1972; [6] Левитан Б. М., Жиков В. В., Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения, М., 1978; [7] Качуровский Р. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 2, с. 121 168.
В. В. Жиков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 474 | |
5 | 455 | |
6 | 441 | |
7 | 439 | |
8 | 435 | |
9 | 426 | |
10 | 425 | |
11 | 423 | |
12 | 414 | |
13 | 407 | |
14 | 377 | |
15 | 376 | |
16 | 373 | |
17 | 367 | |
18 | 366 | |
19 | 365 | |
20 | 364 |