Математическая энциклопедия - неподвижная точка

1) Н. т. отображения Fмножества Xтакая точка , что . Доказательства существования Н. т. и методы нахождения Н. т.важные задачи математики, т. к. решение всякого уравнения путем преобразования его к виду сводится к нахождению Н. т. отображения , где тождественный оператор. В зависимости от того, какой структурой наделено множество Xи каковы свойства отображения F, возникают те или иные принципы неподвижной точки. Наибольший интерес представляют случаи, когда Xтопологич. пространство и Fнепрерывный в том или ином смысле оператор.

Простейшим из таких принципов является принцип сжимающих отображений. Пусть Xполное метрич. пространство и оператор таков, что

Тогда оператор Fимеет в точности одну Н. т.к-рая может быть получена как предел последовательных приближений произвольно. Этим принципом не только устанавливается существование Н. т., но и указывается способ ее нахождения, причем довольно просто оценивается быстрота сходимости последовательности В общем случае условие (1) нельзя заменить условием

но если Xкомпактно, то условие (2) по-прежнему обеспечивает наличие у оператора Fединственной Н. т. Более общим является принцип обобщенного сжатия. Пусть, как и выше, Xполное метрич. пространство, и

при где для

Тогда Fимеет единственную Н. т. Если Xбанахово пространство, то условие (1) есть не что иное, как условие Липшица для оператора Fс константой, меньшей единицы. Принцип сжимающих отображений широко используется для доказательства существования и единственности решений алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений и для приближенного нахождения решений этих уравнений.

Существуют другие условия топологич. характера, обеспечивающие существование Н. т. у оператора F. Наиболее известным из них является принцип Шаудера. Пусть Xбанахово пространство и Fвполне непрерывный оператор, отображающий ограниченное выпуклое замкнутое множество на свою часть. Тогда Fимеет в Схотя бы одну Н. т. Однако в этом случае вопрос о числе Н. т. остается открытым, и нет указаний о способе их нахождения.

Пример (теорема Пеано). Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в области в этой области. Если , то на отрезке существует хотя бы одно решение уравнения

такое, что

Уравнение (4) вместе с условием (5) эквивалентно интегральному уравнению

Оператор

в условиях теоремы отображает шар пространства в себя и вполне непрерывен на этом шаре. Поэтому в силу принципа Шаудера существует Н. т. оператора F, к-рая и является решением задачи Коши (см. [4], [5]).

Обобщением принципа Шаудера является принцип Тихонова. Пусть Xотделимое локально выпуклое пространство и Fнепрерывный оператор, отображающий выпуклое компактное множество в себя. Тогда Fимеет на Схотя бы одну Н. т. Существуют и другие обобщения принципа Шаудера, в том числе на многозначные отображения, однако во всех случаях необходимо предполагать выпуклость множества С, без чего теорема Шаудера и ее обобщения становятся неверными. Возможно комбинирование принципа Шаудера и принципа сжимающих отображений. Пусть оператор F, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество Сбанахова пространства X в себя, можно представить в виде где F1 вполне непрерывный и F2сжимающий операторы. Тогда Fимеет в Схотя бы одну Н. т.

Принципы шаудеровского типа могут быть следующим образом распространены на некомпактные операторы. Пусть Мограниченное множество полного метрич. пространства X. Мерой некомпактности этого множества наз. точная нижняя граница значений тех , при к-рых существует конечная -сеть для М. Для компактных множеств Оператор наз. уплотняющим, если для любого некомпактного ограниченного множества . Пусть уплотняющий оператор Fпреобразует ограниченное выпуклое замкнутое множество в себя. Тогда Fимеет в Схотя бы одну Н. т. В банаховых пространствах можно вводить и другие меры некомпактности, варьируя к-рые, можно получать разные варианты теоремы, позволяющие доказывать существование решений различных дифференциальных, интегральных и иных уравнений с не вполне непрерывными операторами.

Привлечение более тонких топологич. понятий позволяет сформулировать более сильные признаки существования Н. т. Пусть на границе ограниченной области Мбанахова пространства Xзадано невырожденное векторное поле Ф, т. е. каждой точке поставлен в соответствие ненулевой вектор Ф (х). Такому полю при выполнении нек-рых условий можно соотнести целое число, наз. вращением поля Ф на . Пусть сначала Xконечномерно и Ф непрерывно на . Тогда определяется как топологич. степень отображениямножества на единичную сферу . Пусть теперь Xбанахово бесконечномерное пространство и , где Fвполне непрерывный на оператор. Такие поля наз. вполне непрерывными.

Пусть конечномерное подпространство достаточно хорошо аппроксимирует и оператор проектирования на . Если достаточно мало для , то поле также невырождено на и его вращение не зависит от выбора аппроксимирующих подпространств и оператора . Это число наз. вращением вполне непрерывного векторного поля Ф на границе и обозначается . Важным свойством вращения является то, что оно не меняется при гомотопных преобразованиях поля Ф.