Математическая энциклопедия - псевдодифференциальиый оператор

оператор, действующий в функциональных пространствах на дифференцируемом многообразии и локально по определенным правилам записываемый с помощью нек-poй функции, обычно наз. символом П. о., и удовлетворяющей оценкам производных определенного типа, аналогичных оценкам производных полиномов, являющихся символами дифференциальных операторов. Пусть W открытое подмножество в пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактные носителем, принадлежащим W. Простейший П. о. в W это оператор , задаваемый формулой

(1)

где мера Лебега на обычное скалярное произведение векторов хи преобразование Фурье функции и, то есть

(интеграл здесь и выше берется по ), р( х,x) гладкая функция на , удовлетворяющая нек-рым условиям и называемая символом П. о. Р. Оператор Рвида (1) обозначается также р( х, D).или р( х, Dx). Если

многочлен от x с коэффициентами

(здесь а мультииндекс, т. е. , aj - целые, , то р( х, D).совпадает с дифференциальным оператором, получаемым, если в выражение для р( х,x) вместо x подставить вектор

Часто используется класс символов , удовлетворяющих условиям

(2)

где a, b мультииндексы, , -компакт в W. Этот класс обозначается (или

Обычно предполагается, что . Через (или ) обозначается класс операторов (также называемых П. о. в W) вида р( х, D)+K, где а К - интегральный оператор с бесконечно дифференцируемым ядром, т. е. оператор вида

где . Функцию р( х,x) по-прежнему ная. символом П. о. р( х, D)+K, хотя теперь она определена уже не однозначно, а с точностью до символов, принадлежащих . Оператор наз. П. о. порядка не выше m и типа r, d. Описанный выше дифференциальный оператор принадлежит классу . Наименьшее возможное значение тчасто ная. порядком П. о. Классы часто наз. классами Хёрмандера.

Можно задавать П. о. в Wс помощью двойных-символов, т. е. в виде

(3)

При эта формула переходит в (1). Обычно предполагается, что , то есть

(4)

где компакт в W. Если , то построенный класс операторов вида (3) (со всевозможными функциями ) совпадает с классом . При этом символ р( х,x) (определенный с точностью до символов из ) имеет следующее асимптотич. разложение:

где a!=a1! . . . an! и суммирование ведется по всем мультииндексам. Эта запись означает, что разность между р( х,x) и частью суммы, взятой по тем a, для к-рых , является символом, принадлежащим , т. е. символом, порядок к-рого не выше наибольшего из порядков оставшихся членов.

П. о. Р продолжается по непрерывности или с помощью двойственности до оператора , где D'(W) и пространства обобщенных функций и обобщенных функций с компактным носителем в W соответственно. Если d<1, то при этом П. о. обладает следующим свойством псевдолокальности: если , где , то . Другая формулировка свойства псевдолокальности: ядро К( х, у )(всмысле Шварца) оператора Рбесконечно дифференцируемо по х, у при

Классический П. о. порядка т. в W П. о. , символ к-рого р( х,x) допускает асимптотич. разложение

где при при , и положительно однородна по x порядка т-j

Примером классического П. о. является дифференциальный оператор (с гладкими коэффициентами). Функция р т( х,x) наз. главным символом классического П. о.

П. о. в W наз. собственным (или П. о. с собственным носителем, или П. о. с компактным носителем), если проекции носителя его ядра при проектировании W X W на каждый сомножитель являются собственными отображениями. Собственный П. о. Ротображает в и продолжается по непрерывности до отображений , он может быть записан в виде (1) с символом р( х,x), где экспонента в скобках рассматривается как функция от х, а x является параметром.

Пусть А, Вдва П. о. в W, из к-рых один является собственным. Тогда имеет смысл их произведение (композиция) С=АВ. Важную роль в теории П. о. играет теорема о композиции: если ,

. Если при этом символы операторов С, А, В, то

В частности, если А, В - классические П. о. порядков m1, m2, то Склассический П. о. порядка m1+m2 с главным символом , где главные символы операторов Аи B.

Если , то существует и единствен сопряженный П.