Математическая энциклопедия - гамильтонова система линейная

система вида

где Н -квадратичная форма с действительными коэффициентами от переменных с коэффициентами, к-рые могут зависеть от времени t. Г. с. л. наз. также линейной канонической системой. Система (1) может быть записана в векторной форме:

где х - вектор-столбец

матрица квадратичной формы 2Н и ( единичная -матрица). Уравнение (2) с произвольной неособой действительной кососимметрической матрицей J может быть сведено подходящей заменой вида , где неособая действительная матрица, к аналогичному виду:

здесь любая заранее заданная действительная неособая кососимметрическая матрица. Ниже предполагается, что в (2)

К канонич. уравнению (2) сводятся: векторное уравнение 2-го порядка

в к-ром увектор порядка действительные -матрицы функции, ; уравнение

где постоянная матрица, , , (матрицы действительные), скалярное уравнение

где действительные функции, и аналогичное векторное уравнение. [Для уравнения (3)

для уравнения (За)

для уравнения (4)

Скалярное уравнение (3) с т. е. уравнение в к-ром Р(t) - периодич. функция, наз. уравнением Хилла.

Пусть X(t) - матрицант уравнения (2) [матрица фундаментальной системы решений уравнения (2), нормированная условием ]. Введем индефинитное скалярное произведение , где обычное скалярное произведение. Матрица U (вообще комплексная), унитарная в смысле этого произведения, т. е. такая, что , наз. J-унитарной; действительная J-унитарная матрица Xназ. симплектической.

Известно (см. Гамильтонова система), что при сдвиге вдоль траектории Г. с. сохраняется интегральный инвариант Пуанкаре внешняя дифференциальная форма В случае Г. с. л. это свойство означает, что для любых решений уравнения (2) выполнено т. е. что матрицант X(t)-симплектическая матрица для любого t. Из соотношения следует (теорема Ляпунова-Пуанкаре), что собственные значения симплектической матрицы X(с учетом их кратностей и порядков жорда-новых ящиков) располагаются симметрично (в смысле инверсии) относительно единичной окружности. Собственные значения симплектических (и J-унитарных) матриц, равные по модулю 1, подразделяются на собственные значения 1-го и 2-го рода по следующему правилу. Пусть собственное значение J-унитарной матрицы и . Тогда форма бx, xс на соответствующем корневом подпространстве не вырождается. Пусть р - число положительных и q - число отрицательных ее квадратов; говорят, что в точке совпало собственных значений 1-го рода и qсобственных значений 2-го рода.

Аналогично определяется род чисто мнимых собственных значений матриц (для них ). Для J-унитарной матрицы X собственные значения при считаются собственными значениями 1-го рода, если , и 2-г о рода, если . Любая симплектическая матрица Xимеет (с учетом кратности) ровно k собственных значений 1-го рода и k значений 2-го рода. При соответствующей нумерации r1, . . ., rk являются непрерывными функциями матрицы X(см. [2], [3]).

1. Осцилляторные свойства решений Г. с. л. К изучению осцилляторных свойств решений уравнений (2) -(4) приводит ряд задач вариационного исчисления, оптимального управления, исследование свойств спектра соответствующего дифференциального оператора и др.

Определения. (I) Уравнение (3) наз. колебательным, если для любого найдутся числа и решение такие, что , и неколебательным в противном случае. (II) Уравнение (4) наз. колебательным, если для любого t0>0 найдется решение имеющее по крайней мере два k-кратных нуля и неколебательным в противном случае. (III) Уравнение (1) наз. колебательным, если на функция

является неограниченной, и неколебательны м в противном случае. [В(5) суть собственные значения 1-го рода матрицы X(t). После сведения уравнения (3) или (4) к уравнению (2) получающееся уравнение (2) будет колебательным в смысле определения (III) тогда и только тогда, когда уравнение (3) [соответственно (4)] колебательно в смысле определения (I) [соответственно (II)]. Определению (III) можно придать следующую геометрич. интерпретацию. Группа симплектических матриц Xгомеоморфна произведению связного и односвязного топологич. пространства на окружность. Соответствующее отображение можно выбрать так, что

является проекцией матрицы на окружность (числа собственные значения 1-го рода матрицы X). Таким образом, уравнение (2) колебательно, если при матрица X(t).неограниченно "закручивается" в

Sp(k, R). (При n=1 эта группа гомеоморфна "сплошному тору" и "закручивание" имеет очевидный наглядный смысл.) Известны другие разнообразные определения аргумента симплектической матрицы, соответствующие другим отображениям группы на окружность и эквивалентные (5) в том смысле, что при любом из них выполнено неравенство:

для любой кривой Такими аргументами являются, напр.,

где суть -подматрицы матрицы (см. также [4]). Известны разнообразные эффективно проверяемые достаточные (а в нек-рых случаях необходимые и достаточные) условия колебательности и неколебательности уравнений (2), (3), (4) (см., напр., [5] и литературу в [6]).

2. Г. с. л. с периодическими коэффициентами. Пусть в (2) почти всюду. Матрица X(Т).наз. матрицей монодро-м и и уравнения (2), а ее собственные значения мультипликаторами уравнения (2). Уравнение (2) (или соответствующий гамильтониан Н(t)).наз. сильно устойчивым, если все его решения ограничены на и это свойство не нарушается при малых деформациях гамильтониана в смысле нормы Аналогично определяется сильная неустойчивость уравнения (2) (гамильтониана ). Для сильной устойчивости уравнения (2) необходимо и достаточно чтобы все его мультипликаторы лежали на единичной окружности и среди них не было совпадающих разного рода (иначе, чтобы все корневые подпространства у X(Т).были дефинитны в смысле произведения ). Для сильной неустойчивости уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы нек-рые его мультипликаторы лежали вне единичной окружности. Два набора мультипликаторов (с учетом их рода), среди к-рых нет совпадающих разного рода, наз. эквивалентными, если один набор можно непрерывно перевести в другой без встречи мультипликаторов разного рода. Класс эквивалентных наборов мультипликаторов наз. мультипликаторным типом. В случае устойчивости имеется 2 ^k мультипликаторных типа. Их можно обозначить символами вида = (+, +, , +,...,-), в к-рых полюсы и минусы соответствуют роду мультипликаторов, последовательно встречающихся при прохождении верхней полуокружности |р| = 1 от точки к точке . Пусть множество всех гамильтонианов указанного выше вида с нормой Множество сильно устойчивых гамильтонианов распадается в Л на счетное число областей

Область является множеством всех гамильтонианов, к-рым отвечают мультипликаторный тип m, и целое число п, определяемое формулой