Математическая энциклопедия - гомологии теория

топологических пространств часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств гомоморфизмы соответствующих групп, Г. т. по свойствам групп и их гомоморфизмов позволяет судить о свойствах пространств и отображений. К таким свойствам относятся, напр., связности различных размерностей, для исследования к-рых Г. т. опирается на понятие ограничивают, в отличие от другой части алгебраич. топологии теории гомотопии, к-рая для той же цели применяет деформации. Г. т. зародилась в конце 19 в. в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincare) (см. Гомологии полиэдра), но аксиоматич. построение (а вместе с ним и точные границы этого долгое время расплывчатого понятия) Г. т. получила лишь в работах Н. Стинрода и С. Эйленберга (см. [3], а также Алгебраическая топология, Гомологии группа, Стинрода Эйленберга аксиомы). По этому построению теория гомологии есть совокупность трех функций: 1) относительной r-мерной группы гомологии пары топологич. пространств к-рая каждой паре и каждому целому числу r ставит в соответствие абелеву группу ; 2) гомоморфизма

к-рый ставится в соответствие непрерывному отображению и числу rи yаз. гомоморфизмом, индуцированным отображением f; 3) граничного оператора , к-рый каждой паре и каждому rставит в соответствие гомоморфизм группы в группу (так наз. абсолютную группу пространства А, являющуюся группой пары ). При этом указанные функции должны удовлетворять следующим аксиомам.

наз. гомологической последовательностью, пары , является точной последовательностью, т. е. везде образ входящего гомоморфизма совпадает с ядром исходящего.

5. Аксиома гомотопии. Если отображения

гомотопны, то .

6. Аксиома вырезания. Если U - открытое подмножество пространства Xи его замыкание содержится во внутренности подпространства А, то отображение вложения

индуцирует изоморфизм .

7. Аксиома размерности. Если Xодноточечное пространство, то для всех .

Вместо категории всех пар пространств за область определения функции Hr можно взять произвольную категорию пар пространств, напр, категорию пар компактных пространств пли категорию пар, состоящих из полиэдров и их подполиэдров. Однако требуется, чтобы такая категория вместе с содержала пары , , , цилиндр и какое-либо одноточечное пространство Р 0, со всеми их отображениями вложения. Кроме того, требуется, чтобы категория содержала все пары и отображения, к-рые встречаются в аксиомах или теоремах. С другой стороны, за область значений функции вместо категории всех абелевых групп можно принимать и другие категории, напр, категорию топологических, в частности, компактных групп с непрерывными гомоморфизмами или категорию модулей над нек-рым кольцом с линейными гомоморфизмами. Аксиомы 1 и 2 означают, что есть ковариантный функтор из нек-рой категории пар пространств в категорию групп. Аксиома 3 означает, что граничный оператор согласован с функтором . Аксиома 4, связывающая функторы всех размерностей r, иногда заменяется более слабым требованием: чтобы последовательность была лишь полуточной, т. е. образ входил в ядро (см. Точная последовательность);важным примером частично полуточной теории гомологии является теория гомологии Александрова Чеха. Аксиома 5 имеет эквивалентную форму: если

отображения, определяемые формулами Аксиома 6, требующая инвариантность при вырезании и имеющая несколько разновидностей, указывает то свойство Г. т., к-рое отличает ее от теории гомотошш. Аксиома 7, обеспечивающая гео-метрич. значимость размерностного индекса r, в современных исследованиях часто пренебрегается, что порождает так наз. обобщенные теории гомологии, важным примером к-рых служит теория бордизмов.

Для Г. т. существует двойственная ей теория когомологии (см. Двойственность в топологии). Она задается: относительной r-мерной группой когомологии являющейся контравариантным функтором из категории пар топологич. пространств в категорию абелевых групп с индуцированным гомоморфизмом

и кограничным оператором

Аксиомы формулируются так же, как и в случае гомологии, с очевидным изменением в направлении гомоморфизмов, происходящим от контравариантности; напр., аксиома точности требует, чтобы была точной когомологическая последовательность

Здесь возникают также обобщенные когомологич. теории, важными примерами к-рых служат К-теории и кобордизмы. Приводимые ниже факты Г. т. имеют когомологич. параллели.

Группой коэффициентов Г. т. или теории когомологии наз. группа или соответственно . Группы иногда удобно заменять так наз. приведенными группами : приведенная нульмерная группа гомологии есть ядро гомоморфизма

индуцированного отображением , а приведенная нульмерная группа когомологии есть факторгруппа группы по образу ; приведенные группы других размерностей совпадают с исходными: Так, Если при всех r. Замена обычных групп приведенными позволяет получить из гомологич. последовательности приведенную гомологическую последовательность. Аксиомы Г. т. не являются независимыми. Так, аксиома 1 есть следствие аксиом 2, 3, 4. Система аксиом совместна, как показывает пример тривиальной теории ; вложения нетривиальными примерами являются когомологич. теория Александрова Чеха, сингулярные гомологии и др. В вопросе полноты имеет место следующее: гомоморфизмом Г. т. в Г. т. наз. такая система гомоморфизмов

что

и

если все изоморфизмы, то Г. т. и наз. изоморфными Г. т. На конечных полиэдрах Г. т. является единственной. Точнее, если произвольный гомоморфизм группы коэффициентов теории в группу коэффициентов теории , то для каждой полиэдральной пары существует единственный гомоморфизм

обладающий тем свойством, что причем, если изоморфизм, то изоморфизмами являются и все . Так как группы гомологии отрицательной размерности триангулируемой пары тривиальны, то для таких пар равенство , , имеет место и при любой Г. т. . Теорема единственности справедлива и для более широких категорий пространств в случае, когда Г. т. удовлетворяет соответствующим дополнительным аксиомам.

Группы гомологип являются топологическими, а также гомотопич. инвариантами: если есть гомотопич. эквивалентность, то есть изоморфизм. Если Xстягиваемое пространство, в частности, клетка, то Если есть гомотопич. эквивалентность, то и, при любом Если А - ретракт пространства X, то есть мономорфизм, эпиморфизм, оператор тривиален и

Если Xдеформируемо в А, то есть эпиморфизм, тривиален, есть мономорфизм и

Пусть через S(X).обозначена надстройка над X;имеет место изоморфизм

Это дает возможность вычислить группы гомологии сфер ; именно: при и следовательно, при при или и Важную роль в Г. т. играют гомологические последовательности троек и триад. Для тройки пространств граничный оператор определяется как композиция , где есть вложение. Тогда возникает так наз. гомологическая последовательность тройки (сводящаяся при к гомологич. последовательности пары (X, А).

где и вложения. Эта последовательность точна. Если группы тривиальны для всех , то являются соответственно изоморфизмами, и наоборот. Если Xесть объединение непересекающихся замкнутых множеств где изоморфна прямой сумме групп Триада есть пространство Xс упорядоченной парой А, В подпространств. Она является собственной триадой, если вложения

индуцируют изоморфизмы или имеется разложение

Далее, для

них определяется граничный оператор