Математическая энциклопедия - интегральная геометрия

теория инвариантных (относительно непрерывных групп отображений пространства на себя) мер на множествах, состоящих из подмногообразий пространства (напр., прямых, плоскостей, геодезических, выпуклых поверхностей и т. п. многообразий, сохраняющих свой тип при рассматриваемых преобразованиях). И. г. строится для различных пространств, прежде всего для евклидовых, проективных, однородных.

И. г. занимается введением инвариантных мер, их связями и геометрич. применениями. Возникла в связи с уточнением постановки задач о геометрич. вероятностях.

Для введения инвариантной меры предварительно ищут такую функцию от координат точки в пространстве, интеграл от к-рой по некоторой области пространства не изменялся бы после непрерывного преобразования координат пространства, составляющих определенную группу Ли. Это требует отыскания интегрального инварианта заданной группы Ли. Последний находится как решение системы дифференциальных уравнений в частных производных

где F(x)искомый интегральный инвариант, хточка n-мерного пространства, xⁱhкоэффициент инфинитезимального преобразования группы, rколичество параметров преобразования. Важное значение в И. г. имеют измеримые группы Ли, т. е. такие группы, к-рые допускают существование одного и только одного (с точностью до постоянного множителя) инварианта. Последними, в частности, являются простые транзитивные группы.

Следующая задача И. г. состоит в установлении меры множества многообразий, которые сохраняют свой тип после нек-рой группы непрерывных преобразований. Мера устанавливается равной интегралу

где А aмножество точек в пространстве параметров группы Ли, Fинтегральный инвариант группы, определяемый уравнением (1), или плотность меры. Подинтегральное выражение в (2) наз. также элементарной мерой множества многообразий. Определенный выбор этой меры полностью устанавливает соответствие с основной задачей учения о геометрич. вероятностях. Фактически под геометрич. вероятностью множества многообразий со свойством А 1 понимается относительная доля этого множества, рассматриваемого как подмножество многообразий множества многообразий, имеющих более общее свойство А. Задача сводится к установлению мер множества многообразий со свойством А, подмножества со свойством А 1 и их отношения. Последнее и есть геометрич. вероятность. В случае однородного многомерного пространства мера множества многообразий (напр., точек, прямых, гиперплоскостей, пар гиперплоскостей, гиперсфер, гиперповерхностей 2-го порядка) однозначно (с точностью до постоянного множителя) определяется интегралом

где {wi} суть относительные компоненты (i= 1, ..., h)заданной транзитивной группы Ли G2. Линейные комбинации с постоянными коэффициентами этих относительных компонент представляют собой левые части уравнений системы Пфаффа, соответствующей рассматриваемому множеству многообразий. Мера (3) наз. кинематической мерой в однородном пространстве с заданной в нем группой преобразований. Она представляет собой обобщение так наз. кинематической меры Пуанкаре. (Далее все меры указываются с точностью до постоянного множителя.)

И. г. на евклидовой плоскости Е ² обычно рассматривает лишь одно непрерывное преобразование группу движений (без отражений). Для множества точек интегральный инвариант единица, для множества прямых тоже единица, если в качестве параметров прямых выбраны параметры ее нормального уравнения ри j. Длина произвольной кривой равна где пчисло пересечений прямых с кривой, а интегрирование ведется по множеству прямых, пересекающих кривую. Мера множества прямых, пересекающих, две выпуклые фигуры (овалы), равна разности длин перекрестно охватывающей овалы кривой и внешней охватывающей кривой (см. рис. 1).

Мера множества прямых, разделяющих два овала, равна длине перекрестно охватывающей кривой без суммы длин контуров овалов. Мера множества пар точек определяется как

где р,j параметры нормального уравнения прямой, проходящей через точки, а t1 и t2 суть расстояния по этой прямой от точек до точки пересечения прямой и перпендикуляра к прямой, проведенного из начала координат (см. рис. 2).

Мера множества пар прямых равна где хи укоординаты точки пересечения пары прямых, а a1 и a2 углы, к-рые составляют эти прямые с одной из координатных осей (см. рис. 3).

Мера множества пар кривых, пересекающих овал, равна половине квадрата длины кривой, ограничивающей овал, без площади овала, умноженной на p (формула Крофтона). Применение кинематич. меры к множеству конгруэнтных овалов, пересекающих заданный овал, позволяет получить одно из изопериметрич. неравенств, а именно классическое Воннезена неравенство. Если

где s длина хорды овала H, Gмножество пересекающих овал прямых, r расстояние между двумя точками внутренней области овала, то

что позволяет просто определить среднее расстояние между двумя точками внутри овала. Кинематич. мера множества фигур есть мера множества фигур, конгруэнтных данной. Она равна

где Xмножество точек фигуры, х, укоординаты ее фиксированной точки, j угол, определяющий поворот фигуры. Кинематич. мера может трактоваться как мера множества подвижных систем координат. Если неподвижную систему координат сделать подвижной, а подвижную неподвижной, то для одного и того же множества преобразований кинематич. мера останется неизменной (симметричность кинематич. меры). Если с каждым элементом множества конгруэнтных фигур связать иную подвижную систему, то кинематич. мера также сохраняется. Мера множества конгруэнтных конечных дуг произвольной кривой, пересекающих заданную дугу нек-рой кривой, равна учетверенному произведению длин дуг (формула Пуанкаре). Количество отрезков прямой данной длины l, пересекающих овал, равно 2pF0+2lL0, где F0 и L0площадь овала и длина ограничивающей его кривой. Если заменить овал незамкнутой кривой, то F0=0, и число пересечений будет равно 2lL0. Мера множеств овалов, пересекающих данный овал, равна 2n(F0+F)+L0L, где F0,F суть соответствующие площади, a L0 и Lдлины кривых, ограничивающих овалы.

И. г. в евклидовом пространстве Е ³ строится по аналогии с И. г. в E², Для множеств точек интегральный инвариант также равен единице. Если множество прямых задано множеством их уравнений в двух проектирующих плоскостях:

x=kz+a, y=hz+b,

то интегральный инвариант для совокупности параллельного переноса и поворота осей равен (k²+h²+1)^-2. В частности, мера множеств прямых, пересекающих выпуклую замкнутую поверхность (поверхность овалоида), равна половине поверхности овалоида.

Введение по аналогии с Е ² меры множества пар точек позволяет вычислить среднее значение 4-й степени длин хорд овалоида, к-рое равно 12V/pS, где Vи Sего объем и поверхность. Для пар пересекающихся прямых, заданных уравнениями в двух проектирующих плоскостях:

и

где а, b и с координаты точек пересечения прямых, она равна

Меры множества пересечений двух заданных подвижных овалоидов относятся как их объемы. Для плоскости, заданной уравнением в отрезках, интегральный инвариант равен где а, b, сдлины отрезков. Мера множества плоскостей, пересекающих поверхность площади S, равна p²S/2, а среднее значение длин кривых, по к-рым овалоид пересекается множеством плоскостей, равно где интегральная средняя кривизна. Для пар плоскостей интегральный инвариант равен произведению интегральных инвариантов множеств плоскостей. Кинематич. мера в Е ³ равна произведению меры множества по-различному ориентированных плоскостей и элементарной кинематич. меры в ориентирующей плоскости. Интегральный инвариант для вращений пространственной фигуры, имеющей одну неподвижную точку, равен

где li=aitg(j/2), а ai, i=1,2,3, суть направляющие косинусы оси вращения, j угол поворота вокруг этой оси. Мера множеств тел, имеющих общую точку и отличающихся поворотом в пространстве, равна p².

И. г. на поверхности строится введением меры множества геодезических как интеграла от внешней дифференциальной формы поверхности по всему множеству. Таким образом, внешняя дифференциальная форма есть плотность множества геодезических, так как она инвариантна относительно выбора системы криволинейных координат на поверхности и относительно выбора параметра, определяющего положение точки на геодезической. В геодезических полярных координатах плотность имеет вид

в частности для сферы dG=cosp[dqdr], а для псевдосферы dG=chr[dqdr]. Для множества геодезических, пересекающих гладкую или кусочно гладкую кривую, плотность равна dG=[sinj[djds], где j угол пересечения, s длина кривой. Плотность кинематич. меры (кинематич. плотность) равна dK=[dPdV], где dPэлемент площади поверхности, Vугол между геодезической и полярным радиусом. Многие результаты И. г. на Е ² обобщаются на случай однородной поверхности. Плотность меры множества представляет собой кинематич. плотность, что позволяет получить обобщение формулы Пуанкаре для Е ². Меры множества пар геодезических и пар точек строятся так же, как: для Е ².

На основе так наз. поли метрической геометрии П. К. Рашевского (см. [4]) результаты И. г. на произвольной однородной поверхности обобщаются на более широкий класс поверхностей. Обобщение производится путем использования биметрич. системы Рашевского. Сначала двумя способами вводится мера в двупараметрич. множестве кривых плоскости. Затем все выводы, справедливые в случае плоскости (рассматриваемой как множество линейных элементов), обобщаются на случай линий постоянной геодезич. кривизны произвольной поверхности.

И. г. на проективной плоскости Р ². Для полной группы проективных преобразований на Р ²:

интегральный инвариант существует лишь для совокупности трех точек и равен кубу обратной величины площади треугольника, вершинами к-рого являются эти точки. Для пар точек и группы аффинных унимодулярных преобразований

интегральный инвариант равен единице, а для группы аффинных преобразований интегральный инвариант множества пар точек равен ( х 1 у 2- х 2 у 1)^-2, где х 1, у 1 и x2, y2 суть координаты точек.

Множество прямых проективной плоскости неизмеримо, но для пар точка прямая и полной группы проективных преобразований (4) интегральный инвариант равен (x0a+y0b+1)^-3, где х 0, у 0 суть координаты точки, а прямая задается уравнением ax+by+1=0. Множество параллелограммов, заданных уравнениями

причем a1b2-a2b1=0, имеет плотность меры

для группы аффинных преобразований

Для множества окружностей на Р ², заданных уравнением

максимальной группой преобразований является группа преобразований подобия