Математическая энциклопедия - квадратичные формы поверхности

общее наименование квадратичных форм от дифференциалов координат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. ф. п. характеризуют основные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности данной точки; обычно выделяют так наз. первую, вторую и третью основные квадратичные формы.

Первая квадратичная форма поверхности характеризует внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности. Пусть поверхность задана уравнением:

где ии vкоординаты на поверхности;

дифференциал радиус-вектора r( и, v )вдоль выбранного направления смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. рис. 1). Главная линейная часть приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr:

и наз. первой основной К. ф. п. См. также Первая квадратичная форма поверхности.

Вторая квадратичная форма поверхности характеризует локальную структуру поверхности в окрестности обыкновенной точки. Именно, пусть

единичный вектор нормали к поверхности в точке М, где e=+ 1, если тройка векторов правой ориентации, и e=-1 в противоположном случае.

Удвоенная главная линейная часть 2d отклонения точки М' (см. рис. 2) поверхности от касательной плоскости в ее точке Мравна

II = 2d = (dr, dn)= L( и, v)du²+2М(u,v)dudv + N(u, v) dv²,

где L=(ruu, n), M=(ruv, n), N=(rvv, n). Форма II наз. второй основной К. ф. п. См. также Вторая квадратичная форма поверхности.

Первая и вторая К. ф. п. обладают двумя важными совместными скалярными инвариантами относительно преобразования координат на поверхности. Именно, отношение дискриминантов этих форм равно гауссовой кривизне поверхности в точке:

а выражение

определяет среднюю кривизну поверхности в точке.

Задание первой (положительно определенной) и второй К. ф. п. определяет поверхность с точностью до движения (Бонне теорема).

Третья квадратичная форма поверхности представляет собой квадрат дифференциала единичного вектора пнормали к поверхности в точке М(см. рис. 3 :

III = dn² = nu²du² +2nunvdudv+nv²dv².

Третья К. ф. п. равна главной линейной части приращения угла между векторами пи n' при смещении поповерхности из точки Мв точку М'; она является первой К. ф. п. сферического изображения поверхности.

Три основные К. ф. п. связаны линейной зависимостью:

Кроме перечисленных выше иногда рассматривают и другие К. ф. п. (см., напр., [3]).

Лит.:[1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.Л., 1947; [2] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; [3] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.

А. Б. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985