Математическая энциклопедия - параболическая подгруппа

1) П . п. линейной алгебраич. группы G, определенной над нолем k,замкнутая в Зариского топологии, подгруппа такая, что факторпространство G/P является проективным алгебраич. многообразием.

Подгруппа тогда и только тогда является П. п., когда она содержит какую-нибудь Бореля подгруппу группы G. Параболической подгруппой группы Gk, k- рациональных точек группы G наз. подгруппа , являющаяся группой k-рациональ-ных точек нек-рой П. п. Рв G и плотная в Рв топологии Зариского. Если chark=0 и алгебра Ли группы G, то замкнутая подгруппа тогда и только тогда является П. п., когда ее алгебра Ли является параболической подалгеброй в.

Пусть G связная редуктивная линейная алгебраич. группа. Минимальные k-замкнутые (т. е. определенные над k).П. п. играют в теории таких групп для произвольного основного поля kту же роль, что подгруппы Бореля для алгебраически замкнутого поля k(см. [1]). В частности, любые две минимальные k-замкнутые П. п. группы G сопряжены над k. Если две k-замкнутые П. п. группы G сопряжены над каким-нибудь расширением поля k, то они сопряжены и над k. Множество классов сопряженных П. п. (соответственно множество классов сопряженных k-замкнутых П. п.) группы G состоит из 2^r (соответственно 2^rk) элементов, где r - ранг коммутанта (G, G) группы G, а rk - его k-ранг, равный размерности максимального расщепимого над kтора в (G, G). Точнее, каждый такой класс определяется нек-рым произвольным подмножеством множества простых корней (соответственно простых k-корней) группы G аналогично тому, как каждая параболич. подалгебра редуктивной алгебры Ли сопряжена одной из стандартных подалгебр (см. [2], [4]).

Всякая П. п. Ргруппы G связна, совпадает со своим нормализатором и допускает разложение Леви, т. е. может быть представлена в виде полупрямого произведения своего унипотентного радикала и нек-рой k-замкнутой редуктивной подгруппы, наз. подгруппой Лев и группы Р. Любые две подгруппы Леви в П. п. Р сопряжены посредством рационального над kэлемента группы Р. Две П. п. группы G наз. противоположными, если их пересечение является подгруппой Леви в каждой из них. Замкнутая подгруппа группы G тогда и только тогда является П. п., когда она совпадает с нормализатором своего уншютентного радикала. Всякая максимальная замкнутая подгруппа группы G либо является П. п., либо имеет редуктивную связную компоненту единицы (см. [2], [4]).

П. п. в группе GLn(k).невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем kисчерпываются подгруппами P(v), состоящими из всех автоморфизмов пространства V, которые сохраняют фиксированный флаг типа v= (n1, п 2, . . ., nt) в V. При этом фактор пространство GLn(k)/P(v).совпадает с многообразием всех флагов типа v в пространстве V.

В случае, когда замкнутые П. п. допускают следующую геометрич. интерпретацию (см. [5]). Пусть некомпактная полупростая вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой алгебраич. группы G. Подгруппа группы тогда и только тогда является П. п., когда она совпадает с группой движений соответствующего некомпактного симметрич. пространства М, сохраняющих нек-рый k-пучок геодезич. лучей в М(два геодезич. луча в Мсчитаются принадлежащими одному k-пучку, если расстояние между двумя точками, движущимися с одинаковыми постоянными скоростями вдоль этих лучей в бесконечность, стремится к конечному пределу).

2) П. и. системы Титсa (G, В, N, S).подгруппа группы G, сопряженная подгруппе, содержащей В. Каждая П. п. совпадает со своим нормализатором.

Пересечение любых двух П. п. содержит подгруппу группы G, сопряженную с . В частности, П. п. системы Титса, связанной с редуктивной линейной алгебраич. группой G,это то же, что П. п. группы G (см. [3], [4]).

Лит.:[1] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967, т. 11, М 1, с. 43-111; [2] их же, там же, 1972, т. 16, № 3, с. 3-12; [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картава, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [4] Хамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [5] Карпелевич Ф. И., "Труды Моск. матем. об-ва", 1985, т. 14, с. 48-185. В.