Математическая энциклопедия - пучков теория

специальный математич. аппарат, обеспечивающий единый подход для установления связи между локальными и глобальными свойствами топологич. пространств (в частности, геометрич. объектов) и являющийся мощным средством исследования многих задач в современной алгебре, геометрии, топологии и анализе.

На топологич. пространстве Xзадан предпучок F, если каждому открытому подмножеству сопоставлена абелева группа (кольцо, модуль над кольцом и т. п.) F(U).и всякой паре открытых множеств гомоморфизм такой, что -тождественный изоморфизм и для каждой тройки . Другими словами, предпучок контравариантный функтор из категории открытых подмножеств Xи их вложений в категорию групп (колец и т. п.) и их гомоморфизмов. Отображения , наз. гомоморфизмами ограничения (напр., если F(U)-функции какого-либо типа, -ограничения их на меньшее подмножество). На множестве , где прямой предел, следующимобразом определена топология: для всякого и любого в объявляется открытым множество S, состоящее из тех точек , к-рые служат образами апри определении . В этой топологии слои дискретны и замкнуты в , определяемые прямыми пределами послойные алгебраич. операции на непрерывны, а естественная проекция , при к-рой , является локальным гомеоморфизмом. Пространство вместе с послойными алгебраич. операциями и проекцией рназ. пучком абелевых групп (колец и т. п.) над X, определяемым предпучком F.

Всякое непрерывное отображение , для к-рого x=ps(x), наз. сечением над U. Сечение над X, определяемое всеми нулями в , наз. нулевым. Если нек-рое сечение s равно нулю в точке х, то s совпадает с нулевым сечением в нек-рой окрестности х, поэтому множество тех точек, в к-рых sотлично от нуля (носитель сечения s), замкнуто в U.

Пусть (соответственно , где Ф нек-рое семейство замкнутых множеств в X, в частности ) группа (кольцо, модуль и т. п.) всех сечений над U(соответственно сечений над Xс носителями из Ф, в частности сечений с компактными носителями). Соответствие ) является предпучком над X, к-рый наз. предпучком сечений пучка . Используемое при определении топологии на соответствие определяет также гомоморфизмы , коммутирующие с ограничениями на , т. е. гомоморфизм предпучков. Этот гомоморфизм является изоморфизмом при условии, что исходный предпучок Fудовлетворяет требованиям: а) если , то s=s', если равны ограничения s, s' на все Ul.;б) если такой набор элементов, что ограничения sl , sm на Ul.Um совпадают, то существует , ограничения к-рого на каждое Ul, совпадают с sl. Понятие предпучка, удовлетворяющего этим требованиям, эквивалентно понятию порожденного им пучка, поэтому такие предпучки также нередко наз. пучками.

Пучок вида , где G - нек-рая группа, наз. постоянными обозначается через G. Локально постоянным наз. пучок, постоянный в достаточно малых окрестностях . Топология таких пучков отделима, если X - отделимое пространство.

В более типичных ситуациях топология может быть неотделимой, даже если отделимо X(таков, напр., пучок ростков непрерывных (или дифференцируемых) функций, порожденный предпучком F, где F(U) - непрерывные (дифференцируемые) функции на U;однако пучок ростков аналитич. ций на многообразии отделим).

Всякий гомоморфизм предпучков приводит к отображению соответствующих пучков , к-рое является локальным гомеоморфизмом и гомоморфно отображает слои в слои; такое отображение пучков наз. гомоморфизмом пучков. Стандартным образом определяются монои эпиморфизмы. При любом гомоморфизме образ есть открытая часть , замкнутая по отношению к послойным алгебраич. операциям. Всякая часть , удовлетворяющая этим требованиям, наз. подпучком в . Факторпучок пучка по подпучку определяется как пучок , порожденный предпучком ; при этом имеется эпиморфизм , причем . Для всякого открытого через обозначается подпучок в , являющийся объединением p^-1(U).с нулевым сечением над X, а через соответствующий факторпучок (ограничение к-рого на XUсовпадает с ограничением ).

Возможность употреблять по отношению к пучкам над Xтакие привычные термины, как гомоморфизм, ядро, образ, подпучок, факторпучок и т. д., вкладывая в эти понятия такой же смысл, как в алгебре, позволяет рассматривать их с категорной точки зрения и применять в П. т. конструкции гомологической алгебры. Возникающие над Xкатегории пучков родственны таким классическим, как категория абелевых групп или категория модулей; в частности, для пучков определяются прямые суммы, бесконечные прямые произведения, индуктивные пределы и др. понятия.

Аппарат П. т. проник в разнообразные области математики благодаря тому, что определены естественные когомологии пространства X с коэффициентами в пучке , причем без каких-либо ограничений на X(что существенно, напр., в алгебраич. геометрии, где возникающие пространства, как правило, неотделимы), и что другие когомологии (в тех или иных конкретных условиях) сводятся к пучковым по крайней мере в тех ситуациях, где их применение оправдано.

Для определения сначала строится каноническая резольвента

где пучок, определяемый предпучком F, для к-рого F(U).группа всех (включая разрывные) сечений над U, при этом =F(U),, По определению, получаются заменой символа Г на Г Ф)). При этом сам пучок удаляется из , так что (для классич. когомологии Н ⁰( Х, G) группа локально постоянных функций на Xсо значениями в G). Резольвента -точный ковариантный функтор от : точной тройке "коэффициентов" отвечает точная тройка резольвент. Функтор Г Ф оказывается точным на членах , резольвент, поэтому указанным коэффициентам отвечает точная последовательность когомологии

начинающаяся с Когомологич. последовательность пары (X, А).отвечает тройке ( А - замкнутое множество).

Когомологии обладают следующим свойством "универсальности", раскрывающим их значение: для любой другой резольвенты (т. е. начинающейся с точной последовательности пучков ) имеется естественный гомоморфизм "сравнения" , для описания к-рого в терминах применяются спектральные последовательности. Важен случай, когда пучки резольвенты Ф-а цикличны, т. е. когда при : в этом случае указанный гомоморфизм есть изоморфизм. Основными примерами ацикличных пучков являются вялые пучки (для всех отображения эпиморфны) и мягкие пучки (любое сечение над замкнутым множеством продолжается до сечения над всем X). Канонич. резольвента состоит из вялых пучков. Если X - паракомпактное пространство, то всякий вялый пучок является также и мягким.

Свойство универсальности позволяет сравнивать с пучковыми (а следовательно, и между собой) когомологии, возникающие в более конкретных ситуациях, определять для них те естественные границы, в к-рых их применение эффективно, а также применять методы П. т. для решения конкретных задач. Напр., когомологии Александрова Чеха можно определить с помощью коцепей, получающихся из коцепей специально подобранной системы открытых покрытий переходом к прямому пределу. Эти коцепи оказываются сечениями пучков ростков коцепей (определяемых аналогично пучкам ростков функций), составляющих резольвенту группы (или даже пучка) коэффициентов, к-рая оказывается мягкой, если пространство паракомпактно. Таким образом, для паракомпактных пространств когомологии Александрова Чеха совпадают с пучковыми. Аналогичный вывод имеет место для пространств Зариского (в частности, для алгебраич. многообразий). Сечениями пучков резольвенты оказываются и коцепи Алек-сандера Спеньера, причем резольвента состоит, из мягких пучков, если Xпаракомпактно, в частности, в этом случае когомологии Александера Спеньера и Александрова-Чеха естественно изоморфны. В случае сингулярных когомологии отождествление коцепей, совпадающих друг с другом на сингулярных симплексах мелкости (произвольных) открытых покрытий, приводит к т. н. локализованным коцепям (дающим те же когомологии), к-рые являются сечениями пучков, определяемых предпучками обычных сингулярных коцепей. Пучки оказываются мягкими, если Xпаракомпактно (а если Xнаследственно паракомпактно, то даже вялыми), но образуют резольвенту при дополнительном требовании, чтобы Xбыло слабо локально стягиваемым (в каждой окрестности Uкаждой точки найдется меньшая окрестность, стягиваемая в точку внутри U). Классич. примером является теорема де Рама: когомологии комплекса дифференциальных форм дифференцируемого многообразия совпадают с обычными когомологиями с коэффициентами в поле действительных чисел (пучки ростков дифференциальных форм являются мягкими и образуют резольвенту : вблизи каждой точки каждая замкнутая дифференциальная форма является точной).

Имеются также резольвенты, отвечающие любым открытым или локально конечным замкнутым покрытиям и позволяющий сравнивать когомологии X с когомологиями покрытий (спектральные последовательности покрытий). В частности, изоморфизм обеспечивается условием Н ^q=0 при для всех элементов покрытия и их конечных пересечений (теорема Лере). Переход к прямому пределу по открытым покрытиям дает изоморфизм когомологий Александрова Чеха с пучковыми и для непаракомпактных Xпри условии, что в Xимеется достаточно много мелких открытых множеств U, для к-рых при (теорема Картана). Это означает, что применяемые в алгебраич. геометрии когомологий с коэффициентами в когерентных пучках также изоморфны стандартным пучковым когомологиям Н*.

Общие конструкции, обеспечивающие гомоморфизм сравнения, позволяют также сравнивать когомологий

[аналогично )