Математическая энциклопедия - специальные функции

в широком смысле совокупность отдельных классов функций, возникающих при решении как теоретических, так и прикладных задач в самых различных разделах математики.

В узком смысле под С. ф. подразумеваются С. ф. математич. физики, к-рые появляются при решении дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных.

С. ф. могут быть определены с помощью степенных рядов, производящих функции, бесконечных произведений, последовательного дифференцирования, интегральных представлений, дифференциальных, разностных, интегральных и функциональных уравнений, тригоно-метрич. рядов, рядов по ортогональным функциям.

К наиболее важным классам С. ф. относятся гамма-функция и бета-функция, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, Бесселя функции, Лежандра функции, параболического цилиндра функции, интегральный синус, интегральный косинус, неполная гамма-функция, интеграл вероятности, различные классы ортогональных многочленов одного и многих переменных, эллиптическая функция и эллиптический интеграл, Ламе функции и Матъё функции, дзета-функция Римана, автоморфная функция, нек-рые С. ф. дискретного аргумента.

Теория С. ф. связана с представлением групп, методами интегральных представлений, опирающихся на обобщение формулы Родрига для классич. ортогональных многочленов и методами теории вероятностей.

Для С. ф. имеются таблицы значений, а также таблицы интегралов и рядов.

Лит.:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1973-74; [2] Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, пер. с англ., М., 1979; [3] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977; [4] Лебедев Н. Н., Специальные функции и

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985