Математическая энциклопедия - спектральный оператор

ограниченный линейный оператор А, отображающий банахово пространство Xв себяи такой, что для -алгебры борелевских множеств на плоскости существует разложение единицы со свойствами: 1) для любого проектор приводит А, т. с.и спектр лежит в где сужение оператора Ана инвариантное подпространство 2) отображение есть гомоморфизм в булеву алгебру 3) все проекторы ограничены, т. е. разложение единицы счетно аддитивно в сильной топологии пространства X, т. о. для любого и любой последовательности состоящей из попарно непересекающихся множеств,

Понятие С. о. можно распространить на неограниченные замкнутые операторы. При этом в 1) надо дополнительно потребовать, чтобы выполнялось включение где D(А)область определения оператора А, и для ограниченных

С. о. являются все линейные операторы в конечномерном пространстве, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве, напр. оператор

в на

если ядро К(t, s) есть преобразование Фурье борелевской меры m на плоскости с полной вариацией var и такое, что

суть ограниченные линейные операторы в

С. о. обладают рядом важных свойств, напр.:

в случае сепарабельного Xточечный и остаточный спектры Ане более чем счетны и др.

Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 3Спектральные операторы, пер. о англ., М., 1974; [2] Данфорд Н., лМатематика

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985