Математическая энциклопедия - топология многообразий

часть теории многообразий, посвященная в основном исследованию взаимоотношений между различными их типами.

Главнейшие типы конечномерных многообразий и взаимоотношения между ними можно изобразить схемой (1), в которой Diff категория дифференцируемых (гладких) многообразий; PL категория кусочно линейных (комбинаторных) многообразий; TRI категория топологических многообразий, являющихся полиэдрами; Handle категория топологических многообразий, допускающих топологическое разложение на ручки; Lip категория липшицевых многообразий (с липшицевыми отображениями перехода между локальными картами);

ТОР категория топологич. многообразий (хаусдорфовых и со счетной базой); Н -категория полиэдральных гомологич. многообразий без края (полиэдров, край звезды каждой вершины к-рых имеет гомологии сферы соответствующей размерности); H(ANR)-категория обобщенных многообразий (конечномерных абсолютных окрестностных ретрактов X, к-рые являются гомологич. многообразиями без края, т. е. обладают тем свойством, что для любой точки группа изоморфна группе P(ANR) категория пространств Пуанкаре (конечномерных абсолютных окрестностных ретрактов X, для которых существует такое число пи такой элемент что при и отображение при всех rявляется изоморфизмом); Р - категория полиэдров Пуанкаре (подкатегория предыдущей категории, состоящая из полиэдров). Стрелки схемы (1), кроме трех нижних и стрелок изображают функторы структуры забывания. Стрелка изображает теорему Уайтхеда о. триангулируемости гладких многообразий. В размерностях <8 эта стрелка обратима (любое PL-многообразие сглаживаемо), но в размерностях существуют несглаживаемые PL-многообразия и даже PL-многообразия, гомотопически неэквивалентные никакому гладкому многообразию. Вложение также необратимо в том же сильном смысле (существуют полиэдральные многообразия размерности гомотопически неэквивалентные никакому PL-многообразию). При этом уже для сферы Sⁿ, существуют триангуляции, в к-рых она не является PL-многообразием.

Стрелка изображает тот факт, что любое PL-многообразие допускает разложение на ручки. Стрелка изображает теорему о существовании на произвольном PL-многообразии липшицевой структуры.

Стрелка обратима при и необратима при n=4 (любое топологическое многообразие размерности допускает разложение на ручки, и существуют четырехмерные топологич. многообразия, для к-рых это не так).

Аналогично, при обратима стрелка (и притом единственным образом).

Вопрос об обратимости стрелки составляет классическую нерешенную задачу о триангулируемости произвольных топологич. многообразий.

Стрелка необратима в сильном смысле (существуют полиэдры Пуанкаре, гомотопически неэквивалентные никакому гомологич. многообразию).

Стрелка изображает теорему о гомотопической эквивалентности любого гомологич. многообразия размерности топологич. многообразию.

Стрелка изображает теорему Кёрби Зибенмана о гомотопич. эквивалентности любого топологич. многообразия полиэдру.

Вложение изображает тот факт, что любое топологич. многообразие является ANR. Обобщенное многообразие размерности тогда и только тогда принадлежит образу этого вложения, когда Xобладает свойством раздвижки дисков (для любого и любых отображений где В ² -двумерный диск, существуют такие отображения что и

Аналогичный вопрос для стрелок решается с помощью теории стационарных расслоений (соответственно векторных, кусочно линейных, топологических и сферических), т. е. на основе рассмотрения гомотопических классов отображений многообразия Xв соответствующие классифицирующие пространства ВО, BPL, ВТОР, BG.

Существуют сквозные канонич. отображения

гомотопич. слои к-рых и их композиций обозначаются соответственно символами PL/O, ТОР/О, G/0, TOP/PL, G/PL, G/TOP. Для каждого многообразия Xлюбой из категорий Diff, PL, TOP, P существует нормальное стационарное расслоение, т. е. канонич. отображение t х многообразия Xв соответствующее классифицирующее пространство.

При переходе от лузкой

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985