Математическая энциклопедия - аналитическое отображение

аналитический морфизм,морфизм аналитических пространств, рассматриваемых как окольцованные про странства. А. о. пространства в пространство есть пара , где

непрерывное отображение, а

гомоморфизм пучков колец на X. В случае комплексных пространств А. о. наз. также голоморфным отображением.

В случае, когда и приведенные аналитич. ространства, гомоморфизм полностью определяется отображением п является обратным отображением ростков функций, отвечающим . Таким образом, в этом случае А. о.это такое отображение , что для любого и любого имеет место

Слоем А. о.

в точке наз. аналитич. одпространство

пространства , где пучок ростков функций, обращающихся в 0 в точке у. Если положить

то имеет место неравенство

Если приведенные комплексные пространства, то для всякого множество

является аналитическим в X.

А. о. наз. плоским в точке является плоским модулем над кольцом . В этом случае неравенство (*) превращается в равенство. А. о. наз. плоским, если оно плоское в каждой точке . Плоское А. о. комплексных пространств является открытым. Обратно, если открыто, гладко, а и все слои приведены, то плоское А. о. Множество точек комплексного или жесткого аналитич. ространства X, у к-рых А. о. не является плоским, будет аналитическим в X. Если Xи Y - приведенные комплексные пространства, причем Xимеет счетную базу, то в Yсуществует открытое всюду плотное множество, над к-рым плоское А. о. Если А. о.

комплексных пространств плоско, то множества тех , в к-рых слой не приведен или ненормален, являются аналитическими в

Пусть А. о. приведенных комплексных пространств. Если , то существует стратификация

где аналитич. множества и для больших r , со следующим свойством: всякая точка обладает такой окрестностью , что локальное аналитич. множество в Y, все неприводимые компоненты ростка к-рого в точке имеют размерность r. В частности, если собственное, то аналитич. множество в X. Этот факт является частным случаем теорем конечности для А. о.

Пусть комплексные пространства, причем Xкомпактно. Тогда множество всех А. о. можно снабдить такой структурой комплексного пространства, что отображение

переводящее пару аналитично.

В частности, группа автоморфизмов компактного комплексного пространства Xявляется комплексной группой Ли, аналитически действующей на X.

Лит.: МRemmert R., "Math. Ann.", 1956, Bd 130, S. 410-41; [2] e г о же, там же, 1957, Bd 133, S. 328-70; ГЗ] Stein К., Analytischer Abbildungen allgemeiner analyti-scher Raume. Colloque de topologie, Strasbourg, Avril, 1954; [4] Frisch J., "Inventiones math.", 1967, Bd 4, S. 118-38.

Д. А. Пономарев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985