Математическая энциклопедия - аналитическое продолжение

функциидоопределение функции f0, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области , содержащей Е, такое, что сужение функции f на Есовпадает с . Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары , где область на Ми f голоморфная в Dфункция.

Говорят, что элементы составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту множества если Элемент , по определению, аналитически продолжается в граничную точку если существует непосредственное_А. п. элемента через такое, что Максимальным (в М).А. п. наз. элемент (D,/), аналитически продолжающий в область но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D.

Максимальное А. п. в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае ), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих Элемент наз. А. п. элемента , если существует конечный набор элементов и связных компонент А,соответственно в таких, что являются непосредственными А.

В случае, когда есть комплексная плоскость или, более общо, комплексное пространство , , этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара , где степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости Da.

Канонич. элемент вдоль пути если существует семейство канонич. элементов , с центрами таких, что и для каждого элементы являются непосредственными А. п. для всех t, достаточно близких к . Семейство на самом деле определяется однозначно. Если , , есть непрерывное семейство путей в с общими концами аи b и если аналитически продолжается вдоль каждого , то результат не зависит от (монодромии теорема).