Математическая энциклопедия - квадратичное поле

расширение степени 2 поля рациональных чисел Q. Любое К. п. имеет вид где т. е. получается присоединением к полю Q элемента тогда и только тогда, когда d1=c²d2, где Поэтому любое К. п. имеет вид где dцелое рациональное число свободное от квадратов, однозначно определяемое этим К. п. В дальнейшем d предполагается именно таким.

При d>0 поле наз. вещественным К. п., а при d<0мнимым.

В качестве фундаментального базиса поля т. е. базиса кольца целых чисел поля над кольцом целых рациональных чисел Z, можно взять

и

Дискриминант D поля равен соответственно d

при d=1 (mod 4) и 4dпри d=2,3 (mod 4).

Мнимые К. п.единственный тип полей (кроме Q)с конечной группой единиц. Эта группа имеет порядок 4 для (и образующую порядок 6 для (и образующую порядок 2 (и образующую 1) для всех остальных мнимых К. п.

Для вещественных К. п. группа единиц изоморфна прямому произведению где группа порядка 2, порожденная числом -1, и {e} бесконечная циклическая группа, порожденная основной единицей е. Напр., для поля

Закон разложения простых дивизоров в К. п. допускает простую формулировку: полю можно сопоставить квадратичный характер cна Z по модулю D. Если р - простое число и (D,p)=l, то дивизор (р) прост в при c(р)=1, и распадается в произведение двух простых дивизоров при c(р)=1.

Группа классов дивизоров К. п. изучена лучше, чем для других классов полей. В случае мнимых К. п. теорема Бруэра Зигеля (утверждающая, что для полей алгебраических чисел фиксированной степени выполняется асимптотич. соотношение

где h, R и Dчисло классов, регулятор и дискриминант поля) показывает, что число классов дивизоров стремится к бесконечности при Имеется ровно 9 одноклассных мнимых К. п. (при d=1, -2, -3, -7, 11, -19, -43, -67, -163, см. [2]). Для, вещественных К. п. неизвестно (1978) конечно или бесконечно число одноклассных полей. Существует бесконечно много К. п. (как мнимых, так и вещественных), число классов к-рых делится на данное натуральное число (см. [3], [4]). Аналогичное свойство для 2-компоненты группы классов следует из теории родов Гаусса.

Абелевы расширения мнимых К. п. в явном виде позволяет строить теория комплексного умножения (см. [5]).

Многиэ арифметич. свойства К. п. допускают переформулировку в терминах теории бинарных квадратичных форм.

Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; 12] Stark H. M., "Mich. Math. J.", 1967, v. 14, p. 1-27; [3] Ankenу N. С., Сhowla S., "Pacific. J. Math.", 1955, v. 5, p. 321-24; [4] Jamamоtо J., "Osaka J. Math.", 1970, v. 7, p. 57-76; [5] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969, гл. 13.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985