Математическая энциклопедия - параболическая подалгебра

подалгебра конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем, содержащая какую-либо подалгебру Бореля, т. е. максимальную разрешимую подалгебру алгебры . Если конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k, то ее подалгебра наз. П. п., если П. п. в где алгебраич. замыкание поля k. Если G - неприводимая линейная алгебраич. группа над полем характеристики О и ее алгебра Ли, то подалгебра , тогда и только тогда является П. п. в , когда она совпадает с алгеброй Ли нек-рой параболической подгруппы группы G.

Примерами П. п. в алгебре Ли всех квадратных матриц порядка пнад полем kявляются подалгебры вида (m= (m1, m2, . . ., ms) - произвольный набор натуральных чисел, сумма к-рых равна п), где алгебра состоит из всех верхних треугольных блочных матриц, у к-рых диагональные блоки являются квадратными матрицами порядков ml, m2, . . . , ms.

Пусть редуктивная конечномерная алгебра Ли над полем kхарактеристики 0, f максимальная диагонализируемая над kподалгебра в , R - система k-корней алгебры Ли относительно f, D базис (множествопростых корней) системы R и группа элементарных автоморфизмов алгебры Ли , т. е. группа, порожденная автоморфизмами вида exp ad x, где х - нильпотентный элемент алгебры . Тогда всякая П. п. алгебры Ли переводится нек-рым автоморфизмом из группы в одну из стандартных параболических подалгебр вида

где централизатор подалгебры f в корневое подпространство алгебры Ли , отвечающее корню некоторое произвольное подмножество множества D, а П(Ф) множество тех корней из R, в разложении которых по простым корням из базиса D корни, принадлежащие множеству Ф, входят только с неотрицательными коэффициентами. Таким образом, число классов П. п., сопряженных относительно , равно 2^r, где r=|D| есть k-ранг полупростой алгебры Ли '. При этом если , то . В частности, , а минимальная П. п. в .

Максимальными П. п. исчерпываются все нередуктивные максимальные подалгебры конечномерных редуктивных алгебр Ли над полем характеристики 0 (см. [2], [3], [5]).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; 12] Карпелевич Ф. И., "Докл. АН СССР", 1951, т. 76, Я" 6, с. 775 78; [3] Морозов В. В., "Успехи матем. наук", 1956, т. 11, в. 5, с. 191-94; [4] Моstоw G. D., "Ann. Math.", 1961, v. 74, JMS 3, p. 503 17; [5] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1972, т. 16, № 3, с. 3 12. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985