Математическая энциклопедия - представимый функтор

ковариантный (или контравариантный) функтор Fиз нек-рой категории в категорию множеств , изоморфный одному из основных теоретико-множественных функторов:

Функтор представим тогда и только тогда, когда найдутся такие объект и элемент , что для каждого элемента , существует единственный морфизм , для к-рого x=aF(a). Объект Аназывается представляющим функтор F;он определен однозначно с точностью до изоморфизма.

В категории множеств тождественный функтор представим: представляющим объектом служит одноточечное множество. Функтор взятия нек-рой декартовой степени также представим: представляющим объектом служит множество, мощность к-рого равна этой степени. В произвольной категории произведение П. ф. Fi с представляющими объектами , представимо тогда и только тогда, когда в этой категории существует копроизведение объектов Ai. Всякий ковариантный П. ф. перестановочен с пределами, т, е. непрерывен.

П. ф.аналог понятия "свободная универсальная алгебра с одним образующим". Для любого функтора и П. ф. Fмножество естественных преобразований Nat(F, G) изоморфно множеству G(A), где А - представляющий объект. Это показывает, что П. ф. являются свободными объектами категории функторов.

Для аддитивных категорий вместо функторов со значениями в рассматриваются аддитивные функторы со значениями в категории абелевых групп; поэтому под П. ф. понимается аддитивный функтор, изоморфный основному аддитивному функтору.

Понятие П. ф. первоначально возникло в алгебраич. геометрии (см. [2]). Наиболее важными примерами П. ф. здесь являются функторы Пикара Pic X/S и Гильберта Hilb X/S, представимые в категории алгебраических пространств (см. [1]). Пусть К - поле частных регулярного дискретного нормированного кольца О с совершенным полем вычетов. Если Х 0- гладкая геометрически неприводимая собственная кривая рода g>0 над К, то ее минимальная модель представляет функтор из категории регулярных O-схем. Если А - абелево многообразие над К, то его минимальная Нерона модель является гладкой групповой схемой , представляющей функтор из категории гладких О-схем.

Лит.:[1] Артин М., "Математика", 1970. т. 14, М 4, с. 3-39; [2] Гротендик А., Дьёдонно Ж., "Успехи матем. наук", 1972, т. 27, в. 2, с. 135-48.

С. Г. Танкеев, М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985