Математическая энциклопедия - преобразований группа

подстановок группа(G, М), действующая на множестве М. При этом если на множестве Мопределена какая-либо структура и элементы из G эту структуру сохраняют, то принято говорить, что G есть группа преобразований этой структуры. Наименование П. г. обычно отражает в нек-рой мере наименование структуры, определенной на М. Так, напр., если М - векторное пространство над телом, то группы, сохраняющие эту структуру, наз. линейными группами. Более общо, линейными группами наз. часто группы автоморфизмов модулей над различными кольцами. В частности, если М - свободный конечномерный модуль над кольцом целых чисел, то говорят о кристаллографических группах. Если М - топологич. пространство, a G состоит из автогомеоморфизмов пространства М, то говорят о группах непрерывных преобразований. Если М=К есть поле, а G конечная группа автоморфизмов поля К, то G является группой Галуа расширения К/L, где L - подполе, состоящее из элементов, неподвижных при действии элементов из G. Рассматривается также ситуация, когда группа G и множество Мснабжены структурами одного и того же типа, причем действие группы G на Мявляется морфизмом в соответствующей категории. Напр., если G топологич. группа, непрерывно действующая на топологич. пространстве М, то говорят о топологической группе преобразований; аналогично определяются Ли группа преобразований, алгебраическая группа преобразований.

Лит.:[1] Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, гл. 20. Л. А. Калужнин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985